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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Mi 31.10.2012 | | Autor: | Maurizz |
| Aufgabe | | Die Relation ~ sei auf [mm] \IN [/mm] definiert durch a ~ b [mm] \gdw [/mm] a ist ein Teiler von b, also [mm] \gdw \exists [/mm] k [mm] \in \IN [/mm] : ak = b. Prüfen Sie, ob es sich um eine (vollständige?) Ordnungsrelation handelt. |
Zunächst wie ich es fomuliert hab:
reflexiv: ak = a [mm] \rightarrow [/mm] k = [mm] \bruch{a}{a} \rightarrow [/mm] a=1.
D.h. jedes Element der Menge teilt sich selbst mit k = 1 [mm] \Box
[/mm]
antisymmetrisch: (ak = [mm] b)\wedge(bk [/mm] = a) [mm] \rightarrow [/mm] a=b.
Diese Bedingung, kann nur gelten, wenn a und b das selbe [mm] Element\in\IN [/mm] ist. Also wieder wenn k = 1.0
((a1 = [mm] b)\vee(a1 [/mm] = [mm] a)\wedge(b1 [/mm] = [mm] a)\vee(b1 [/mm] = b)).
a = b [mm] \gdw [/mm] a = a [mm] \vee [/mm] b = b. Da ja a und b ein und das selbe sein müssen ist die Darstellung mit a und/oder b gleichwertig. Kann ich das mit ruhigen Gewissen so stehen lassen? Hab ich das bewiesen? ich bin mir hierbei nicht sicher. Also wenn jetzt ein anderer sich das anschaut: Denkt er sich aha so ist das, oder hä? wie ist [mm] das?\Box
[/mm]
transitiv: (ak = [mm] b)\wedge(bk [/mm] = c) [mm] \gdw [/mm] ck = d
Auch hier muss gelten k = 1, denn k > 1 führt dazu, dass der Wert auf der rechten Seite immer weiter wächst. Damit den Satz nicht missversteht: (ak = b) < (bk = c) < ,..., < (yk = z), bei konstanten k natürlich. [mm] \Box
[/mm]
Und jetzt zur eigentlichen Frage. Es heißt eine vollständige Ordnungsrelation besteht nur dann, wenn für je zwei beliebige Elemente a, b der Grundmenge stets mindestens eine der beiden Relationen aRb oder bRa erfüllt ist. Also gut. Hier bestehen aber keine Relationen zwischen verschiedenen Elementen, sondern jedes Element führt eine Beziehung mit sich selbst.
Hab ich das richtig begriffen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:18 Mi 31.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Maurizz,
> Und jetzt zur eigentlichen Frage. Es heißt eine
> vollständige Ordnungsrelation besteht nur dann, wenn für
> je zwei beliebige Elemente a, b der Grundmenge stets
> mindestens eine der beiden Relationen aRb oder bRa erfüllt
> ist.
Genau!
> Also gut. Hier bestehen aber keine Relationen zwischen
> verschiedenen Elementen, sondern jedes Element führt eine
> Beziehung mit sich selbst.
> Hab ich das richtig begriffen?
Nein. Z.B. teilt die Zahl 2 die Zahl 6 (denn für k=3 gilt $2k=6$). Also gilt [mm] $2\sim6$.
[/mm]
> reflexiv: ak = a [mm]\rightarrow[/mm] k = [mm]\bruch{a}{a} \rightarrow[/mm] a=1.
Abgesehen von dem Schreibfehler (es sollte am Ende wohl k statt a heißen): Du benötigst nicht, dass aus ak=a bereits k=1 folgt (was übrigens für a=0 falsch ist, falls das bei euch eine natürliche Zahl ist), sondern dass für k=1 gilt: ak=a.
> D.h. jedes Element der Menge teilt sich selbst mit k = 1
> [mm]\Box[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> antisymmetrisch: (ak = [mm]b)\wedge(bk[/mm] = a) [mm]\rightarrow[/mm] a=b.
Achtung: Die beiden k, die [mm] $a\sim [/mm] b$ bzw. [mm] $b\sim [/mm] a$ bezeugen, müssen a priori nicht übereinstimmen.
Voraussetzung bei dem Beweis der Antisymmetrie ist, dass natürliche Zahlen k und l existieren mit $ak=b$ und $bl=a$.
> Diese Bedingung, kann nur gelten, wenn a und b das selbe
> [mm]Element\in\IN[/mm] ist.
Genau das ist zu begründen. Falls die 0 bei euch eine natürliche Zahl ist, wird dazu eine Fallunterscheidung nach $a=0$ bzw. [mm] $a\not=0$ [/mm] hilfreich sein.
> Also wieder wenn k = 1.0
Warum sollte das gelten?
> ((a1 = [mm]b)\vee(a1[/mm] = [mm]a)\wedge(b1[/mm] = [mm]a)\vee(b1[/mm] = b)).
> a = b [mm]\gdw[/mm] a = a [mm]\vee[/mm] b = b.
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Was tust du da?
> transitiv: (ak = [mm]b)\wedge(bk[/mm] = c) [mm]\gdw[/mm] ck = d
Es müsste rechts [mm] $a\sim [/mm] c$ und nicht [mm] $c\sim [/mm] d$ heißen. Wieder müssen die beiden (bzw. drei) Zeugen für k nicht übereinstimmen.
Es existieren nach Voraussetzung natürliche Zahlen k und l mit $ak=b$ und $bl=c$. Gesucht ist eine natürliche Zahl n mit $an=c$.
> Auch hier muss gelten k = 1,
Nein.
> denn k > 1 führt dazu, dass
> der Wert auf der rechten Seite immer weiter wächst. Damit
> den Satz nicht missversteht: (ak = b) < (bk = c) < ,..., <
> (yk = z), bei konstanten k natürlich. [mm]\Box[/mm]
Wo kommen auf einmal y und z her?
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Mi 31.10.2012 | | Autor: | Maurizz |
Ach! d.h wenn der Teiler [mm] k\IN [/mm] das [mm] a\IN [/mm] in ein [mm] b\IN [/mm] überführt dann stehen diese zwei verschiedenen elemente in relation! ok ok.
zur reflexivität: Beweisen soll ich also das ein bestimmtes k, plump ausgedrückt kein Einfluss auf a wirkt da ja a folgen soll, ist k nicht damit das neutrale Element e also k=e und ae=a? Hatte ich heute in der Vorlesung glaub ich. Hab ich es hier dann etwa mit einer "Gruppe" zu tun?(nein die 0 ist bei uns nur eine mögliche vereinigung [mm] \IN\cup{o}, [/mm] wenn angegeben. Ehrlich gesagt weiss ich bis heute nicht wohin mit der 0:), denn eine "Zahl" ist das ja auch nicht so ganz)
Zur Antisymmetrie. Ok also: Müsste es dann nicht heissen, dass wenn k z.b also a*2=b für l dann gilt [mm] k^{-1}=l, [/mm] was ja 0,5 ist. Also quasi das inverse Element. Denn wenn a*2=b dann a=b/2. Komm ich der sache näher?
daraus kann man aber sehen, dass a niemals b sein kann, wenn nicht k = l also wieder das neutrale element ??
Zur Transitivität: natürlich mein ich aRc... kleiner Fehler große Wirkung.
Hier bin ich etwas überfragt im moment... wie schließe ich aus k und l auf n.. hm.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Mi 31.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
a*k=b b*m=c folgt akm=bm=c also ak'=c mit k'=km
damit hast du eine Ordnung unter allen durch a teilbaren
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Mi 31.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> zur reflexivität: Beweisen soll ich also das ein
> bestimmtes k, plump ausgedrückt kein Einfluss auf a wirkt
> da ja a folgen soll, ist k nicht damit das neutrale Element
> e also k=e und ae=a? Hatte ich heute in der Vorlesung glaub
> ich. Hab ich es hier dann etwa mit einer "Gruppe" zu
> tun?
Zumindest mit einem neutralen Element hat das zu tun.
Es genügt hier aber völlig, dass für alle [mm] $a\in\IZ$ [/mm] gilt:
$a1=a$ und somit (Zeuge k=1) [mm] $a\sim [/mm] a$.
> Zur Antisymmetrie. Ok also: Müsste es dann nicht heissen,
> dass wenn k z.b also a*2=b für l dann gilt [mm]k^{-1}=l,[/mm]
Warum? Weil $a*k*l=b*l=a$ und somit wegen [mm] $a\not=0$ [/mm] folgt $k*l=1$.
>
> daraus kann man aber sehen, dass a niemals b sein kann,
> wenn nicht k = l also wieder das neutrale element ??
Du sollst ja gerade zeigen, dass a=b gilt. Welche natürlichen Zahlen k und l mit $k*l=1$ gibt es denn?
> Zur Transitivität: natürlich mein ich aRc... kleiner
> Fehler große Wirkung.
>
> Hier bin ich etwas überfragt im moment... wie schließe
> ich aus k und l auf n.. hm.
Das hat dir leduart ja schon verraten. Sicherheitshalber nochmal mit meinen Bezeichnungen:
Wir setzen $ak=b$ und $bl=c$ voraus und suchen ein [mm] $n\in\IN$ [/mm] mit $an=c$.
Wegen $c=bl=akl$ leistet $n:=kl$ das Gewünschte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:07 Mi 31.10.2012 | | Autor: | Maurizz |
Vielen dank für die Antworten! Es haben sich soeben ein paar Teilmengen in meinen hirn vereinigt:D
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