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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:52 Do 15.10.2009 | | Autor: | bolzen |
| Aufgabe | Beweise für alle a,b [mm] \in \IZ:
[/mm]
[mm] 7|(100a+b)\Rightarrow [/mm] 7|(a+4b) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Aus 7|(100a+b) folgt, dass es ein [mm] n\in \IR [/mm] gibt mit:
7n=100a+b
aber wie kann ich jetzt weitermachen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:10 Do 15.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Wir wissen:
Es gibt ein n [mm] \in \IZ [/mm] mit
(1) 100a+b = 7n
Wir hätten gern ein m [mm] \in \IZ [/mm] mit
(2) a+4b = 7m
Wenn es ein solches m gibt, wie sieht es dann aus ?
Aus (1) folgt: b = 7n-100a. Das setzen wir in (2) ein und erhalten:
7m = a+4(7n-100a) = 28n -399a
oder
(3) m = 4n-57a.
Dann ist m = 4n-57a [mm] \in \IZ [/mm] und wir machen die Probe:
7m = 28n-399a = 4*7n-399a = 4(100a+b) -399a = a+4b
Bingo !
FRED
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Hallo,
> Beweise für alle a,b [mm]\in \IZ:[/mm]
> [mm]7|(100a+b)\Rightarrow[/mm]
> 7|(a+4b)
Falls ihr schon Restklassen hattet, geht der Beweis ganz kurz: 7|(100a+b) [mm] \gdw \overline{100a} [/mm] + [mm] \overline{b} [/mm] = [mm] \overline{0} \in \IZ_{7}
[/mm]
[mm] \gdw \overline{2a} [/mm] + [mm] \overline{b} [/mm] = [mm] \overline{0} \in \IZ_{7} [/mm] | [mm] *\overline{2^{-1}}( =\overline{4})
[/mm]
[mm] \gdw \overline{a} [/mm] + [mm] \overline{4b} [/mm] = [mm] \overline{0} \in \IZ_{7}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 7|(a+4b) [mm] \Box.
[/mm]
Viele Grüße
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