Teiler von Quadratzahlen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:54 Fr 27.08.2021 | | Autor: | Olli1968 |
| Aufgabe | Wahr oder Falsch
"Es gibt eine Quadratzahl mit vier verschiedenen Teilern." |
Hallo liebe Mathefreunde.
Eine Nachhilfeschülerin kam mit diesen Aufgaben an und bei dieser Aufgabe hatte ich leider auch keine Idee, wie man das zeigen soll. Vor allem sollte es auch Schülerverträglich sein.
Also habe ich mir eine Primzahl genommen und mir die verschieden Teiler der zugehörigen Quadratzahl angesehen:
Wenn p eine Primzahl ist dann erhält: [mm] 1|p^{2} , p|p^{2} , p^{2}|p^{2}[/mm] also drei verschiedene Teiler.
Meine bisherigen überlegungen waren:
Sei a eine Zahl, aber keine Primzahl, so gilt:
[mm] 1|a^{2} , a^{2}|a^{2} , a|a^{2}[/mm] da nun a keine Primzahl ist gilt: [mm] a=m \cdot n, m,n \in \IN , n,m \not = a[/mm]?
Also 5 verschiedene Teiler?
Also gibt es keine Quadratzahl mit vier Teilern!?
Hat jemand von euch eine Idee?
Danke
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Hiho,
also so wie die Aufgabe gestellt ist, löst du sie einfach, indem du eine beliebige Zahl mit (mehr) als 2 Teilern nimmst und sie quadrierst.
Die entstehende Quadratzahl besitzt dann (mindestens) 4 verschiedene Teiler.
Gruß,
Gono
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:38 Fr 27.08.2021 | | Autor: | fred97 |
> Wahr oder Falsch
> "Es gibt eine Quadratzahl mit vier verschiedenen
> Teilern."
> Hallo liebe Mathefreunde.
>
> Eine Nachhilfeschülerin kam mit diesen Aufgaben an und bei
> dieser Aufgabe hatte ich leider auch keine Idee, wie man
> das zeigen soll. Vor allem sollte es auch
> Schülerverträglich sein.
>
> Also habe ich mir eine Primzahl genommen und mir die
> verschieden Teiler der zugehörigen Quadratzahl angesehen:
> Wenn p eine Primzahl ist dann erhält: [mm]1|p^{2} , p|p^{2} , p^{2}|p^{2}[/mm]
> also drei verschiedene Teiler.
>
> Meine bisherigen überlegungen waren:
> Sei a eine Zahl, aber keine Primzahl, so gilt:
> [mm]1|a^{2} , a^{2}|a^{2} , a|a^{2}[/mm] da nun a keine Primzahl
> ist gilt: [mm]a=m \cdot n, m,n \in \IN , n,m \not = a[/mm]?
> Also 5
> verschiedene Teiler?
> Also gibt es keine Quadratzahl mit vier Teilern!?
>
> Hat jemand von euch eine Idee?
Hallo Olli,
ja ich hab eine Idee: nimm Zweierpotenzen.
So hat z.B. die Quadratzahl [mm] 2^8=(2^4)^2 [/mm] die Teiler
2,4,8,16, 32,...
finde noch weitere.
Allgemeiner: für $n [mm] \in \IN$ [/mm] betrachte $ [mm] 2^{2n}=(2^n)^2.$
[/mm]
Für "großes" $n$ hat diese Zahl sehr viele Teiler, jedenfalls mehr als 4.
>
> Danke
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Eine Q-Zahl mit genau 4 Teilern gibt es nicht. Jeder Teiler hat einen Partner, z.B. Bei 36
1-36
2-18
3-12
4-9
6-6
Bei Quadratzahlen ist die Wurzel ihr eigener Partner, sie kommt also nur "einmal" als Teiler vor, die anderen bilden immer Paare. Damit gilt:
Teileranzahl ist ungerade [mm] \gdw [/mm] Zahl ist Q-Zahl.
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Wenn du alle Teiler einer Zahl finden willst, z. B. von 200, musst du nicht mit allen 200 Zahlen testen, die [mm] \le [/mm] 200 sind. Zu jedem Teiler, der kleiner als die Wurzel ist, gibt es einen Partner, der größer als die Wurzel ist, und umgekehrt. Du musst also nur bis zur Wurzel aus der Zahl testen: [mm] 14^2=196, 15^2=225, [/mm] also reicht der Test bis 14:
1 - 200
2 - 100
3
4 - 50
5 - 40
6
7
8 - 25
9
10 - 20
11
12
13
14
Somit sind die Teiler
1, 2, 4, 5, 8 ,10, 20, 25, 40, 50, 100, 200,
und andere gibt es nicht.
Findest du also bis zur Wurzel nur den Teiler 1, so handelt es sich um eine Primzahl, weiter brauchst du dann nicht zu testen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:43 Fr 27.08.2021 | | Autor: | Olli1968 |
Hallo zusammen.
Vielen Dank für die schnellen und zahlreichen Antworten, die mir auch sehr weiterhelfen.
Wie ich finde, sind einige Aufgaben leider nicht immer so klar und deutlich formuliert, wie man sich es wünschen würde. So wie ich diese Aufgabe verstanden habe war wohl gemeint, dass es eine Quadratzahl mit "genau" vier Teilern gibt, aber wie gesagt, war es meine Interpretation der Aufgabe.
Nochmals Danke für die zahlreichen Ideen.
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