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| Aufgabe | Aufgabe 1-1- (5 Punkte) (Teilchenfluss vs. Staufluss)
Wir betrachenten das Verkehrsflussproblem :
[mm] \bruch{\partial \rho} {\partial t} [/mm] + [mm] \bruch{\partial (\rho v)}{\partial x} [/mm] = 0
Sei nun allgemein v(x,t) = f [mm] (\rho [/mm] (x, t)) für eine zweimal stetig differenzierbare Funktion f mit f' < 0 überall. Weiter sei [mm] \rho [/mm] (x,0) =: [mm] \xi(x) \ge [/mm] 0. Wir nehmen an, dass für t [mm] \in [/mm] [0,T] eine zweimal stetig differenzierbare Lösung [mm] \rh0 [/mm] (x,t) der Verkehrsflussgleichung existiert und es eine stetig differenzierbare Funktion r(t) gibt, so dass [mm] \roh [/mm] (.,t) ein lokales Extremum in r(t) mit [mm] \bruch{\partial² \rho}{\partial x²} [/mm] (r(t), t)) [mm] \not= [/mm] 0 hat für alle t [mm] \in [/mm] [0,T]. Die Funktion r(t) beschreibt also die Bewegung eines Stauzentrums oder eines Orts lokal maximaler Fahrtgeschwindigkeit.
Sei p(t) der Fluass eines Teilchens mit p(0) = r(0), erfülle also [mm] \hdot{p}(t)=v(p(t),t).
[/mm]
Zeigen Sie: r(t) < p(t) für alle t [mm] \in [/mm] (0,T]. (vulgo: Derselbe Stau wiederholt sich nicht.)
Hinweis: Es reicht [mm] \bruch{\partial{r}(t_0)}{\partial t} [/mm] < [mm] \bruch{\partial{p}(t_0)}{\partial t} [/mm] zu zeigen, sobald [mm] r(t_0) [/mm] = [mm] p(t_0) [/mm] einträte. |
Wie löse ich diese Aufgabe. Ich habe absolut keinen Plan...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Di 17.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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