Teilchen im Zentralkraftfeld < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Teilchen der Masse m besitze in einem Kraftfeld das Potential [mm] V(\vec{r})=\bruch{\alpha}{r^2}. [/mm] Das Effektive Potential [mm] V_{eff} [/mm] sei:
[mm] V_{eff}(r)=\bruch{L^2}{2mr^2}+\bruch{\alpha}{r^2}
[/mm]
b) Berechnen Sie [mm] r_{min} [/mm] als Funktion von L(Drehimpuls) und E(Energie) |
Hallo zusammen,
Angesetzt habe ich über die Energieerhaltung:
[mm] E_{ges}=E_{kin}+E_{pot}
[/mm]
Also:E=[mm]\bruch{m}{2}\dot r^2[/mm][mm] +\bruch{L^2}{2mr^2}+\bruch{\alpha}{r^2}
[/mm]
So mein Ziel ist es ja jetzt die Bahn r in Abhängigkeit von t zu bestimmen. Und diese Zeitabhängigkeit wird wohl in dem [mm]\dot r[/mm] stecken. D.h. ich stelle das ganze nach [mm]\dot r[/mm] um, schreibe das als: [mm]\dot r[/mm][mm] =\bruch{dr}{dt}, [/mm] trenne die Variablen und dann geht der Spaß wahrscheinlich erst richtig los..?!
Wenn ich das also umforme und zu einem Bruch zusammenfasse(also mit erweitern), bekomme ich:
[mm] \bruch{dr}{dt}=\wurzel{\bruch{-2L^2-4\alpham-4Emr^2}{2m^2r^2}}
[/mm]
(das [mm] m^2 [/mm] im Nenner bekommt man ja, wenn man durch [mm] „\bruch{m}{2}“ [/mm] teilt)
Bevor ich weiter mache: Ist die Vorgehensweise bisher korrekt und wird das wirklich so ein ekliges Integral, oder kann man das irgendwie recht leicht lösen?
Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte!
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Do 27.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ein Teilchen der Masse m besitze in einem Kraftfeld das
> Potential [mm]V(\vec{r})=\bruch{\alpha}{r^2}.[/mm] Das Effektive
> Potential [mm]V_{eff}[/mm] sei:
> [mm]V_{eff}(r)=\bruch{L^2}{2mr^2}+\bruch{\alpha}{r^2}[/mm]
> b) Berechnen Sie [mm]r_{min}[/mm] als Funktion von L(Drehimpuls)
> und E(Energie)
> Hallo zusammen,
>
> Angesetzt habe ich über die Energieerhaltung:
>
> [mm]E_{ges}=E_{kin}+E_{pot}[/mm]
>
> Also:E=[mm]\bruch{m}{2}\dot r^2[/mm][mm] +\bruch{L^2}{2mr^2}+\bruch{\alpha}{r^2}[/mm]
>
> So mein Ziel ist es ja jetzt die Bahn r in Abhängigkeit
> von t zu bestimmen. Und diese Zeitabhängigkeit wird wohl
> in dem [mm]\dot r[/mm] stecken. D.h. ich stelle das ganze nach [mm]\dot r[/mm]
> um, schreibe das als: [mm]\dot r[/mm][mm] =\bruch{dr}{dt},[/mm] trenne die
> Variablen und dann geht der Spaß wahrscheinlich erst
> richtig los..?!
>
> Wenn ich das also umforme und zu einem Bruch
> zusammenfasse(also mit erweitern), bekomme ich:
>
> [mm]\bruch{dr}{dt}=\wurzel{\bruch{-2L^2-4\alpham-4Emr^2}{2m^2r^2}}[/mm]
>
> (das [mm]m^2[/mm] im Nenner bekommt man ja, wenn man durch
> [mm]„\bruch{m}{2}“[/mm] teilt)
>
> Bevor ich weiter mache: Ist die Vorgehensweise bisher
> korrekt und wird das wirklich so ein ekliges Integral, oder
> kann man das irgendwie recht leicht lösen?
Das ist relativ einfach, du hast es nur ungeschickt umgeformt. Ich fange mal von vorne an:
[mm]\dot{r}^2 = \bruch{2}{m} \left(E-\bruch{L^2}{2mr^2} + \bruch{\alpha}{r^2}\right) = \bruch{2}{m} \Biggl(E +\bruch{1}{r^2} \underbrace{\left(\alpha - \bruch{L^2}{2m} \right)}_{\mbox{$=:\beta$}}\Biggr)[/mm] .
Nach Multiplikation mit [mm] $r^2$:
[/mm]
[mm] (r\dot{r})^2 = \bruch{2}{m}(Er^2 + \beta) [/mm]
bietet sich die Substitution [mm] $z=r^2$ [/mm] an:
[mm] \bruch{1}{4}\dot{z}^2 = \bruch{2}{m}(E z + \beta) [/mm] .
Das entstehende Integral ist nicht weiter schwer.
Viele Grüße
Rainer
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Danke für die Antwort, aber hierzu noch Fragen:
[mm] \beta:=\aloha-\bruch{L^2}{2m} [/mm] definieren wir der Einfachheit halber so, weil alles konstanten sind oder?
Bei der Gleichung: ([mm]r\dot r[/mm][mm] )^2=\bruch{2}{m}(Er^2+\beta)
[/mm]
komme ich nach Substutution [mm] z=r^2 [/mm] auf:
[mm]z\dot r^2[/mm][mm] =\bruch{2}{m}(Ez+beta)=[/mm] [mm]\dot r^2[/mm][mm] =\bruch{2}{m}(E+\bruch{\beta}{z}) [/mm] ? oder nicht?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Do 27.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke für die Antwort, aber hierzu noch Fragen:
>
> [mm]\beta:=\alpha-\bruch{L^2}{2m}[/mm] definieren wir der
> Einfachheit halber so, weil alles konstanten sind oder?
Ja.
> Bei der Gleichung: ([mm]r\dot r[/mm][mm] )^2=\bruch{2}{m}(Er^2+\beta)[/mm]
>
> komme ich nach Substutution [mm]z=r^2[/mm] auf:
>
> [mm]z\dot r^2[/mm][mm] =\bruch{2}{m}(Ez+beta)=[/mm] [mm]\dot r^2[/mm][mm] =\bruch{2}{m}(E+\bruch{\beta}{z})[/mm]
> ? oder nicht?
Nein. Du kannst doch nicht [mm] $\dot{r}$ [/mm] einfach stehen lassen! Was ist [mm] $\dot{z}$ [/mm] ?
Viele Grüße
Rainer
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Da hast du natürlich recht!
wenn ich [mm] r^2=z [/mm] substituiere, gilt dann auch [mm]\dot r^2[/mm]=[mm]\dot z[/mm]? Oder wie wird das dann substituiert?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:20 Fr 28.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Rainer hat das doch schon im ersten post geschrieben :
$ [mm] \dot r^2 [/mm] $=$2* [mm] \dot [/mm] r*r $? (Kettenregel)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:28 Fr 28.01.2011 | | Autor: | Kroni |
Hi,
die Notation ist etwas ungluecklich, denn man kann
[mm] $\dot{r}^2$ [/mm] auch als [mm] $\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} r\right)^2$ [/mm] verstehen.
Hier ist aber mit der Ableitung das gemeint (was hoffentlich sowieso klar war)
[mm] $z=r^2 \Rightarrow \frac{\mathrm d }{\mathrm d t} [/mm] z = [mm] \dot [/mm] z = [mm] \frac{\mathrm d }{\mathrm d t} r^2 [/mm] = [mm] 2r\dot [/mm] r$
LG
Kroni
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