Teilbarkeitsregel für 7,11,13 < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für n>3 eine n-stellige Zahl [mm] (Z_{n} [/mm] ; ... ; [mm] Z_{1}) [/mm] mit Ziffern [mm] Z_{n},...,Z_{1} [/mm] (z.B. (3;4;5;6;7)=34567 mit Ziffern 3 , 4 , 5 , 6 , 7) genau dann teilbar ist durch 7, 11 oder 13, wenn die Zahl [mm] (Z_{3} [/mm] ; [mm] Z_{2} [/mm] ; [mm] Z_{1}) [/mm] - [mm] (Z_{n} [/mm] ; ... ; [mm] Z_{4}) [/mm] teilbar ist durch 7, 11 oder 13.
Im Beispiel heißt das:
34567 ist teilbar durch 7,11 oder 13 [mm] \gdw [/mm] 567-34 teilbar durch 7, 11 oder 13. |
Ich habe im Moment nicht mal die Idee, wie ich da am besten anfange, geschweige denn, wie ich das beweisen könnte...Ich wäre für einen Gedankenstubser sehr dankbar, der zumindest schon mal eine Richtung aufzeigt, in der der Beweis, bzw die Beweisidee liegen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 Do 22.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
rechne mal 7*11*13 aus!
dann weisst du dass [mm] Z_n.....Z_4*1001 [/mm] durch 7 und 11 und 13 teilbar ist! also
Deine Zahl ist aber [mm] Z_n.....Z4*1000+Z_1Z_2Z_3
[/mm]
Gruss leduart
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HAllo. Ich sitze an dem selben PRoblem. Und bis zu dem Punkt
(Zn...Z4) * 1000 + Z1Z2Z3 kann ich noch mitkommen. Dann hörts auf. Wie gehe ich denn von da aus weiter?
Ich weiß, dass ich Zn...Z4 * 1001 in Zn...Z4* 1000+1 zerlegen kann, aber das bringt mich nicht weiter.
Noch eine Idee?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 Do 22.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> HAllo. Ich sitze an dem selben PRoblem. Und bis zu dem
> Punkt
>
> (Zn...Z4) * 1000 + Z1Z2Z3 kann ich noch mitkommen. Dann
> hörts auf. Wie gehe ich denn von da aus weiter?
>
> Ich weiß, dass ich Zn...Z4 * 1001 in Zn...Z4* 1000+1
> zerlegen kann, aber das bringt mich nicht weiter.
Dann bilde doch die Differenz von [mm]Z_n\dots Z_4 * (1000+1)[/mm] und [mm]Z_n\dots Z_4Z_3Z_2Z_1[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Ich hab's immer noch nicht...
Also mit der Multiplikation hab ich glaube ich verstanden...daraus ergibt sich doch, dass ich die Ziffern von [mm] Z_{4} [/mm] bis [mm] Z_{n} [/mm] nicht mehr betrachten müsste, wenn ich zeigen kann, dass sie ein Vielfaches von 1001 sind, oder?
Dafür müsste ich mir eine 1 von [mm] Z_{1} [/mm] "klauen", also rechne ich
[mm] Z-(Z_{n};...;Z_{4})*(1000+1) [/mm] = [mm] (Z_{3}Z_{2}Z_{1}) [/mm] - 1
Also, wenn [mm] (Z_{3}Z_{2}Z_{1}) [/mm] - 1 teilbar ist durch 7/11/13, dann auch die Ganze Zahl? Aber das ist doch nicht meine Aufgabe, oder?
*großes Fragezeichen*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:40 Fr 23.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich hab's immer noch nicht...
> Also mit der Multiplikation hab ich glaube ich
> verstanden...daraus ergibt sich doch, dass ich die Ziffern
> von [mm]Z_{4}[/mm] bis [mm]Z_{n}[/mm] nicht mehr betrachten müsste, wenn ich
> zeigen kann, dass sie ein Vielfaches von 1001 sind, oder?
> Dafür müsste ich mir eine 1 von [mm]Z_{1}[/mm] "klauen", also rechne
> ich
> [mm]Z-(Z_{n};...;Z_{4})*(1000+1)[/mm] = [mm](Z_{3}Z_{2}Z_{1})[/mm] - 1
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm]Z-(Z_{n};...;Z_{4})*(1000+1) = Z_n\dots Z_4Z_3Z_2Z_1 - Z_n\dots Z_4*1000 - Z_n\dots Z_4[/mm].
Bei den ersten zwei Termen hebt sich Alles weg bis auf [mm]Z_{3}Z_{2}Z_{1}[/mm], also steht noch
[mm]Z_{3}Z_{2}Z_{1} - Z_n\dots Z_4[/mm] da.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:21 Fr 23.11.2007 | | Autor: | Soeckchen |
Super, jetzt ist der Groschen gefallen!
Vielen Dank allen, die sich beteiligt haben!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:26 Sa 01.12.2007 | | Autor: | hkrug |
Es gibt für 7, 11 und 13 eine sehr praktikable Teilbarkeitsregel, mit der man nicht nur prüfen kann, ob eine Zahl durch 7, 11 und 13 teilbar ist, sondern sogar, welchen Rest es beim Teilen gibt. Die Anwendung der Regel dauert bei einiger Übung so lange, wie es braucht, die Zahl zu schreiben, Die Regel funktioniert besonders gut auch bei langen Zahlen, z.B. hat man in wenigen Momemten raus, dass 98765432 beim Teilen durch 7 den Rest 3 ergibt und also nicht durch 7 teilbar ist. Diese Regel ist hier beschrieben und begründet:
![[]](/images/popup.gif) http://mathematik.wordpress.com/2007/02/17/eine-praktikable-teilbarkeitsregel-fur-die-7/
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