Teilbarkeit und kgV < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 Mo 14.04.2008 | | Autor: | TNA-619 |
man hat eine bestimmte anzahl an münzen (<50000), die zuerst in 2er haufen aufgeteilt werden. genau eine münze bleibt übrig. dasselbe wird mit 3er, 4er usw. bis 10er stapeln gemacht. immer bleibt eine münze übrig. wenn man die münzen jedoch in 11er stapel aufteilt geht es sich genau aus.
als erstes hab ich mal den kgV von 2,3...,10 gebildet =2520
aber 2521 ist nicht durch 11 teilbar, also hab ich einfach probiert und 2520 mit 2,3,4 usw. multipliziert und immer 1 dazugezählt.
irgendwann kam dann
2520⋅10=25200
25201/11=2291
kommt man ohne probieren auf dieses ergebnis?
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Hallo TNA-619,
> man hat eine bestimmte anzahl an münzen (<50000), die
> zuerst in 2er haufen aufgeteilt werden. genau eine münze
> bleibt übrig. dasselbe wird mit 3er, 4er usw. bis 10er
> stapeln gemacht. immer bleibt eine münze übrig. wenn man
> die münzen jedoch in 11er stapel aufteilt geht es sich
> genau aus.
>
> als erstes hab ich mal den kgV von 2,3...,10 gebildet
> =2520
>
> aber 2521 ist nicht durch 11 teilbar, also hab ich einfach
> probiert und 2520 mit 2,3,4 usw. multipliziert und immer 1
> dazugezählt.
>
>
> irgendwann kam dann
>
> 2520⋅10=25200
>
> 25201/11=2291
>
> kommt man ohne probieren auf dieses ergebnis?
Ja, indem man sämtliche Kongruenzen löst.
Sei z die gesuchte Zahl.
[mm]z \equiv 1 \ \left(2\right) \ \Rightarrow z=2*a+1[/mm]
[mm]z \equiv 1 \ \left(3\right) \gdw 2*a+1 \equiv 1 \ \left(3\right) \Rightarrow a \equiv 0 \ \left(3\right) \Rightarrow a=3*b[/mm]
[mm]\Rightarrow z=2*a+1=2*3*b+1=6*b+1[/mm]
usw.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Mo 14.04.2008 | | Autor: | TNA-619 |
> Ja, indem man sämtliche Kongruenzen löst.
>
> Sei z die gesuchte Zahl.
>
> [mm]z \equiv 1 \ \left(2\right) \ \Rightarrow z=2*a+1[/mm]
>
> [mm]z \equiv 1 \ \left(3\right) \gdw 2*a+1 \equiv 1 \ \left(3\right) \Rightarrow a \equiv 0 \ \left(3\right) \Rightarrow a=3*b[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow z=2*a+1=2*3*b+1=6*b+1[/mm]
danke für die hilfe!
[mm]z\equiv1 (4) \gdw 6b+1\equiv1 (4)
b\equiv0 (2)\gdw b=2c
z=6b+1=12c+1
z\equiv1(5)\gdw12c+1\equiv1(5)
c\equiv0(5)\gdw c=5d
z=12c+1=60d+1
60d+1\equiv1(6)[/mm]
hier kann d doch alles sein, oder?
hab ich irgendwo einen fehler?
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Hallo TNA-619,
> > Ja, indem man sämtliche Kongruenzen löst.
> >
> > Sei z die gesuchte Zahl.
> >
> > [mm]z \equiv 1 \ \left(2\right) \ \Rightarrow z=2*a+1[/mm]
> >
> > [mm]z \equiv 1 \ \left(3\right) \gdw 2*a+1 \equiv 1 \ \left(3\right) \Rightarrow a \equiv 0 \ \left(3\right) \Rightarrow a=3*b[/mm]
>
> >
> > [mm]\Rightarrow z=2*a+1=2*3*b+1=6*b+1[/mm]
>
> danke für die hilfe!
>
>
> [mm]z\equiv1 (4) \gdw 6b+1\equiv1 (4)
b\equiv0 (2)\gdw b=2c
z=6b+1=12c+1
z\equiv1(5)\gdw12c+1\equiv1(5)
c\equiv0(5)\gdw c=5d
z=12c+1=60d+1
60d+1\equiv1(6)[/mm]
>
> hier kann d doch alles sein, oder?
>
> hab ich irgendwo einen fehler?
>
Nein. Ist alles ok. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Einfach miz [mm]z=60d+1[/mm] weiterrechnen:
[mm]60d+1 \equiv 1 \ \left(7\right)[/mm]
>
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Mo 14.04.2008 | | Autor: | TNA-619 |
...
[mm]f=3g
n=840f+1=2520g+1
n\equiv1(10) \gdw 2520g+1\equiv1(10)[/mm]
[mm]2520g+1\equiv0(11)
2519g+g\equiv10(11)
0(11)+g\equiv10(11)
g\equiv10(11)[/mm]
aber g muss <20 sein da sonst z>50000
also g=10
stimmt so?
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Hallo TNA-619,
> ...
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> [mm]f=3g
n=840f+1=2520g+1
n\equiv1(10) \gdw 2520g+1\equiv1(10)[/mm]
>
>
> [mm]2520g+1\equiv0(11)
2519g+g\equiv10(11)
0(11)+g\equiv10(11)
g\equiv10(11)[/mm]
>
> aber g muss <20 sein da sonst z>50000
>
> also g=10
Es folgt zunächst: [mm]g=11*h+10[/mm]
Eingesetzt in [mm]z=2520g+1=2520*\left(11*h+10)+1=27720*h+25201[/mm]
Das gesuchte z, welches kleiner 50000 sein soll, ist nun 25201.
>
> stimmt so?
Ja.
Gruß
MathePower
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