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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 Mo 17.02.2014 | | Autor: | mbra771 |
| Aufgabe | | Seien $a,b,n [mm] \in \IN$. [/mm] Beweisen Sie: Wenn [mm] $a^n|b^n$ [/mm] gilt, dann folgt $a|b$. |
Hallo Forum,
Ich bin mir etwas unsicher, ob mein Ansatz so richtig ist. Es wäre schön, wenn jemand mir einen Kommentar zu meiner Lösung schreiben könnte. Da ich mich auf den folgenden Korollar berufen möchte, führe ich diesen kurz auf:
Korollar 1.3.7
Sei $n [mm] \in \IZ, [/mm] n [mm] \not\in \{-1,0,1\}$. [/mm] Sei [mm] $n=\pm p_1^{e1}...p_r^{er}$ [/mm] die kanonische Primfaktorzerlegung.
Genau dann ist $d$ ein Teiler von $n$, wenn [mm] $d=\pm p_1^{f1}...p_r^{fr}$ [/mm] mit [mm] $0\le f_i \le e_i$ [/mm] für alle [mm] $1\le [/mm] i [mm] \le [/mm] r$ ist.
Hier mein Ansatz:
Sei [mm] $\produkt_{i=1}^{n} p_i^{ei}=b$ [/mm] die kanonische Primfaktorzerlegung von b, dann ist [mm] $(\produkt_{i=1}^{n} p_i^{ei})^n [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n} p_i^{ei*n}$ [/mm] die Primfaktorzerlegung von [mm] $b^n$.
[/mm]
Da nach Vorgabe [mm] $a^n$ [/mm] ein Teiler von [mm] $b^n$ [/mm] ist, so kann nach Korallar 2.7.1 auch [mm] $a^n$ [/mm] als [mm] $\produkt_{i=1}^{n} p_i^{fi*n}$ [/mm] dargestellt werden, wobei für alle Exponenten gilt: [mm] $0\le fi*n\le [/mm] ei*n$
Damit gilt auch [mm] $0\le fi\le [/mm] ei$ und da [mm] $b=\produkt_{i=1}^{n} p_i^{ei}$ [/mm] und [mm] $a=\produkt_{i=1}^{n} p_i^{fi}$ [/mm] ist folgt erneut mit Korollar 2.7.1, dass $a$ ein Teiler von $b$ ist.
Viele Grüße,
Micha
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Hey,
wie wäre es mit einem Beweis durch Kontraposition? Für mich sieht das sehr viel übersichtlicher aus.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Mo 17.02.2014 | | Autor: | mbra771 |
Hallo UniversellesObjekt,
ich denke auch das wäre machbar. Ich weiß nicht, ob das einfacher wäre. Die geschriebene Lösung ist die Idee, die ich direkt hatte.
Ist meine Lösung so, wie ich sie geschrieben habe nachvollziehbar?
Grüße
Micha
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Ja, es sieht auch so richtig aus  Ich bin nur kein Freund von diesen ganzen Produktzeichen, zumindest wenn man sie umgehen kann. Per Kontraposition:
Gelte [mm] $a\nmid [/mm] b$. Dann hat $a$ einen Primteiler $p$, welche nicht $b$ teilt. Nun sieht man praktisch sofort, dass [mm] $p\mid a^n$ [/mm] aber [mm] $p\nmid b^n$.
[/mm]
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Mo 17.02.2014 | | Autor: | mbra771 |
Ja, der Gedanke ist nicht schlecht. Aber für die Aufgabe sollte die Richtung
[mm] a^n|b^n [/mm] daraus folgt a|b gezeigt werden.
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Hallo mbra,
> Ja, der Gedanke ist nicht schlecht. Aber für die Aufgabe
> sollte die Richtung
>
> [mm]a^n|b^n[/mm] daraus folgt a|b gezeigt werden.
Naja. Schau Dir das noch mal an. Was UniversellesObjekt zeigt, ist logisch identisch.
Alle nicht-schwarzen Objekte sind Nicht-Raben. 
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Mo 17.02.2014 | | Autor: | mbra771 |
Ich muß ganz ehrlich zugeben, daß ich euch beiden nicht zu 100% folgen kann.
Bitte erläutert mir diesen Beweis noch mal (wenn es geht, dann anhand der Raben)!
Bitte !!!
Grüße, Micha
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Wir wollen zeigen: Sind $a,b$ Raben, so sind $a,b$ schwarz.
Naja, nehmen wir uns zwei beliebige Vögel $a,b$, welche nicht schwarz sind. Da gibt es eine Menge Möglichkeiten, Küken, Seeadler, Rotmeisen, aber keine Raben. Somit müssen alle Raben schwarz sein.
Wir wollen zeigen: Gilt [mm] $a^n\mid b^n$, [/mm] so folgt [mm] $a\mid [/mm] b$.
Naja nehmen wir uns zwei beliebige Zahlen mit [mm] $a\nmid [/mm] b$. Dann kann nicht [mm] $a^n\mid b^n$ [/mm] gelten, da links ein Primfaktor enthalten ist, welcher rechts nicht ist. Somit mus [mm] $a\mid [/mm] b$ gelten.
![[]](/images/popup.gif) Kontraposition
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:58 Di 18.02.2014 | | Autor: | mbra771 |
Hallo UniversellesObjekt,
vielen Dank für deine Erklärung. Besonders, weil ich dein Beispiel direkt verstanden habe
Ich selber wäre nicht auf diese Lösung gekommen, freue mich aber, daß ich etwas lernen konnte.
Viele Grüße,
Micha
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