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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 So 30.10.2011 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | k,m,n [mm] \in \IN \backslash \{0\} [/mm] und n=k*m
zeige [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in \IZ [/mm] : [mm] (a^{m}-b^{m})|(a^{n}-b^{n}) [/mm] |
[mm] \bruch{a^{n}-b^{n}}{a^{m}-b^{m}}= \bruch{(a^{m})^{k}-(b^{m})^{k}}{a^{m}-b^{m}}
[/mm]
ich sage [mm] e=a^{m} [/mm] und [mm] f=b^{m}
[/mm]
[mm] \bruch{e^{k}-f^{k}}{e-f}= \bruch{(e-f)*\summe_{i=0}^{k} e^{k-i}f^{i}}{e-f}=\summe_{i=0}^{k} e^{k-i}f^{i}
[/mm]
= [mm] \summe_{i=0}^{k} (a^{m})^{k-i}(b^{m})^{i}=\summe_{i=0}^{k}a^{m(k-i)}b^{mi}=\summe_{i=0}^{k} a^{mk-mi}b^{mi}=\summe_{i=0}^{k} a^{n} (\bruch{b}{a})^{mi}= a^{n}\summe_{i=0}^{k} (\bruch{b}{a})^{mi}
[/mm]
Hier komm ich nicht weiter
wie zeig ich dass die summe eine natürliche zahl ist.
mich stört dass a,b [mm] \in \IZ.
[/mm]
muss ich hier fälle unterscheiden ? wenn ja, wie genau?
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> k,m,n [mm]\in \IN \backslash \{0\}[/mm] und n=k*m
>
> zeige [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in \IZ[/mm] : [mm](a^{m}-b^{m})|(a^{n}-b^{n})[/mm]
> [mm]\bruch{a^{n}-b^{n}}{a^{m}-b^{m}}= \bruch{(a^{m})^{k}-(b^{m})^{k}}{a^{m}-b^{m}}[/mm]
>
> ich sage [mm]e=a^{m}[/mm] und [mm]f=b^{m}[/mm]
[mm] \bruch{a^{n}-b^{n}}{a^{m}-b^{m}} [/mm] =
> [mm]\bruch{e^{k}-f^{k}}{e-f}= \bruch{(e-f)*\summe_{i=0}^{k} e^{k-i}f^{i}}{e-f}=\summe_{i=0}^{k} e^{k-i}f^{i}[/mm]
>
Hier hast du hast die Aufgabe ja praktisch schon gelöst. Teilbarkeit in Z bedeutet, dass der Quotient eine ganze Zahl ist (muss nicht positiv sein). Und das ist die Summe rechts offensichtlich, da alle Summanden ganzzahlig sind.
> = [mm]\summe_{i=0}^{k} (a^{m})^{k-i}(b^{m})^{i}=\summe_{i=0}^{k}a^{m(k-i)}b^{mi}=\summe_{i=0}^{k} a^{mk-mi}b^{mi}=\summe_{i=0}^{k} a^{n} (\bruch{b}{a})^{mi}= a^{n}\summe_{i=0}^{k} (\bruch{b}{a})^{mi}[/mm]
>
> Hier komm ich nicht weiter
>
> wie zeig ich dass die summe eine natürliche zahl ist.
> mich stört dass a,b [mm]\in \IZ.[/mm]
> muss ich hier fälle
> unterscheiden ? wenn ja, wie genau?
OK, eine kleine Fallunterscheidung ist doch nötig: Nämlich der (triviale) Fall, dass [mm] a^m=b^m\Rightarrow a^n=b^n [/mm] ist, muss strenggenommen noch extra abgehandelt werden.
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