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| Aufgabe | Berechnen Sie die Taylor-Reihenentwicklung 5. Ordnung und bestimmen Sie das zugehörige Lagrangesche Restglied der Funktion
[mm]f(x) = cos^{²}(x)[/mm]
mit dem Entwicklungszentrum [mm] x_{0} [/mm] = 0 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich bin zum ersten Mal hier und möchte Euch daher erstmal alle Begrüßen.
Zu meiner Frage/Aufgabe:
Bisher habe ich durch sukzessives differenzieren folgende Ableitungen erhalten:
[mm] f(x) = cos^{2}(x)[/mm]
[mm] f^{(1)}(x) = -sin(2x)[/mm]
[mm] f^{(2)}(x) = -2 cos(2x)[/mm]
[mm] f^{(3)}(x) = 4 sin(2x)[/mm]
[mm] f^{(4)}(x) = 8 cos(2x)[/mm]
[mm] f^{(5)}(x) = -16 sin(2x)[/mm]
[mm] f^{(6)}(x) = -32 cos(2x)[/mm]
Setzen wir nun [mm] x_{0}=0 [/mm] folgt daraus:
[mm] f(x) = 1[/mm]
[mm] f^{(1)}(x) = 0[/mm]
[mm] f^{(2)}(x) = -2[/mm]
[mm] f^{(3)}(x) = 0[/mm]
[mm] f^{(4)}(x) = 8[/mm]
[mm] f^{(5)}(x) = 0[/mm]
[mm] f^{(6)}(x) = -32[/mm]
Jetzt muss ich das doch irgendwie zu einer Taylorreihe umformen
und das ist der Punkt wo ich nicht verstehe wie ich das machen soll.
Also was ist nun das nächste was ich tun muss?
Wäre echt super wenn ihr mir dabei helfen könntet.
Gruß, Phil.
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Hallo, danke für deine schnelle antwort!
ja das hatte ich auch schonmal aber es hat mir nicht wirklich weiter geholfen, daher dachte ich das es vieleicht quatsch war.
also nach einsetzen erhalte ich die reihe:
[mm]
T(x) \ = \ \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{(n)}(0)}{n!}\cdot{}x^n \ =
\ 1 \cdot x^{0}
+\bruch{0}{1!}\cdot{}x
-\bruch{2}{2!}\cdot{}x^2
+\bruch{0}{3!}\cdot{}x^3
+\bruch{8}{4!}\cdot{}x^4
+\bruch{0}{5!}\cdot{}x^5
-\bruch{32}{6!}\cdot{}x^6
[/mm]
Wenn ich das nicht falsch verstanden habe, ist nun das Ziel der Taylor-Entwicklung einen Funktionsterm zu erstellen, der die werte für x wie f(x) liefert (bis auf einen rest genau).
Genau an der stelle hänge ich gerade.
gruß, phil
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:57 Fr 27.10.2006 | | Autor: | chrisno |
> [mm]
T(x) \ = \ \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{(n)}(0)}{n!}\cdot{}x^n \ =
\ 1 \cdot x^{0}
+\bruch{0}{1!}\cdot{}x
-\bruch{2}{2!}\cdot{}x^2
+\bruch{0}{3!}\cdot{}x^3
+\bruch{8}{4!}\cdot{}x^4
+\bruch{0}{5!}\cdot{}x^5
-\bruch{32}{6!}\cdot{}x^6
[/mm]
>
> Wenn ich das nicht falsch verstanden habe, ist nun das Ziel
> der Taylor-Entwicklung einen Funktionsterm zu erstellen,
> der die werte für x wie f(x) liefert (bis auf einen rest
> genau).
>
[mm] $cos^2 [/mm] 0.1 = 0,9900...$
Bei der Taylorreihe kommt heraus [mm] 1-2*0.1^2+ [/mm] ...
Das passt doch.
Bei größerem x wird es natürlich schlechter.
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Danke, ja stimmt das passt.
Aber muss ich nicht auch die n. Ableitung bestimmen?
Also eine allgemeine Form der Ableitung?
zumindest hatte ich meinen Prof so verstanden.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 Sa 28.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo phil
Deine Aufgabe war doch nur die Taylorreihe bis zum 5. Glied zu bestimmen. Die lässt dich den Funktionswert der Funktion in der Nähe von x=0 scon auf mehrere Stellen genau bestimmen, bis 0,1 etwa auf mindestens 5 Stellen genau, bis 0,01 auf über 10 Stellen genau! Um die Genauigkeit abzuschätzen sollst du in der Aufgabe ja auch noch das Restglied angeben.
WENN du ein allgemeines Gesetz für die Ableitungen siehst, kannst du natürlich auch die ganze Reihe hinschreiben, ist hier nicht verlangt, und wenn man Funktionswerte in einem bestimmten Bereich und einer vorgegebenen Genauigkeit bestimmen will ja auch nicht nötig.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:52 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Phil-Andre |
Ah ja, vielen Dank euch dreien!
Langsam aber sicher werden mir die Taylorreihen klar. Wäre toll wenn mein Prof. mal so verständlich erklären könnte.
Da wir dieses Semester kein Mathe-Tutorium haben, werd ich vermutlich öfters euere Hilfe brauchen.
Nochmal vielen Dank für die super antworten!
Gruß, phil.
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Taylor-Reihe