Taylorreihe v. ln((1+x)/(1-x)) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Fr 27.04.2012 | | Autor: | huzein |
| Aufgabe | Für die numerische Berechnung von Werten der Logarithmusfunktion eignet sich die Taylorreihe von [mm] \ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right).
[/mm]
a. Bestimmen Sie die Taylorreihe $T(f,x)(x)$ für [mm] f(x)=\ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right) [/mm] um den Entwicklungspunkt [mm] x_0=0.
[/mm]
b. Beweisen Sie, dass $f(x)=T(f,0)(x)$ für alle [mm] x\in\left(-\frac12,\frac12\right).
[/mm]
c. Bestimmen Sie damit die Zahl [mm] \ln(2) [/mm] mit einer Genauigkeit von 4 Stellen nach dem Komma. |
Hi,
habe obige Aufgabe zu lösen. Also ich bestimme die Taylorreihe. Ich weiß aus der Vorlesung und der Übung folgendes:
(1) [mm] \ln(1+x)=\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\dfrac{x^n}{n}
[/mm]
(2) [mm] \ln(1-x)=-\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{x^n}{n}
[/mm]
dabei ist bei beiden der Entwicklungspunkt 0. Ersteres konvergiert im Intervall $(-1,1]$ und zweiteres im Intervall $(-1,1)$.
Ferner verwende ich, dass die Summe konvergenter Reihen wieder konvergent ist. Ich schreibe dann
[mm] \ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)=\ln(1+x)-\ln(1-x)
[/mm]
Jetze setze ich obiges Wissen ein, fasse die Summen zusammen und erhalte dann
[mm] \ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)=\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\dfrac{x^n}{n}+\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{x^n}{n}=\sum\limits_{n=1}^\infty\Bigl((-1)^{n+1}+1\Bigr)\dfrac{x^n}{n}<\infty
[/mm]
Ich bin doch jetzt schon fertig und habe damit die Taylorreihe von $f$ bestimmt, richtig?
Bitte mal korrigieren und dann würde ich schon mit dem Teil b. fortfahren wollen.
Danke und Gruß,
huzein
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Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo huzein,
> Für die numerische Berechnung von Werten der
> Logarithmusfunktion eignet sich die Taylorreihe von
> [mm]\ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right).[/mm]
> a. Bestimmen Sie die Taylorreihe [mm]T(f,x)(x)[/mm] für
> [mm]f(x)=\ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)[/mm] um den
> Entwicklungspunkt [mm]x_0=0.[/mm]
> b. Beweisen Sie, dass [mm]f(x)=T(f,0)(x)[/mm] für alle
> [mm]x\in\left(-\frac12,\frac12\right).[/mm]
> c. Bestimmen Sie damit die Zahl [mm]\ln(2)[/mm] mit einer
> Genauigkeit von 4 Stellen nach dem Komma.
>
> Hi,
>
> habe obige Aufgabe zu lösen. Also ich bestimme die
> Taylorreihe. Ich weiß aus der Vorlesung und der Übung
> folgendes:
>
> (1) [mm]\ln(1+x)=\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\dfrac{x^n}{n}[/mm]
>
> (2) [mm]\ln(1-x)=-\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{x^n}{n}[/mm]
>
> dabei ist bei beiden der Entwicklungspunkt 0. Ersteres
> konvergiert im Intervall [mm](-1,1][/mm] und zweiteres im Intervall
> [mm](-1,1)[/mm].
> Ferner verwende ich, dass die Summe konvergenter Reihen
> wieder konvergent ist. Ich schreibe dann
>
> [mm]\ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)=\ln(1+x)-\ln(1-x)[/mm]
>
> Jetze setze ich obiges Wissen ein, fasse die Summen
> zusammen und erhalte dann
>
> [mm]\ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)=\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\dfrac{x^n}{n}+\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{x^n}{n}=\sum\limits_{n=1}^\infty\Bigl((-1)^{n+1}+1\Bigr)\dfrac{x^n}{n}<\infty[/mm]
>
> Ich bin doch jetzt schon fertig und habe damit die
> Taylorreihe von [mm]f[/mm] bestimmt, richtig?
Die Taylorreihe ist so richtig, kann aber noch
etwas anders geschrieben werden.
Mache daher für den Ausdruck [mm](-1)^{n+1}+1[/mm]
eine Fallunterscheidung nach n.
> Bitte mal korrigieren und dann würde ich schon mit dem
> Teil b. fortfahren wollen.
>
> Danke und Gruß,
> huzein
>
>
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> Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Fr 27.04.2012 | | Autor: | huzein |
Ok, also ist $n$ gerade, so ist [mm] $(-1)^{n+1}+1=0$ [/mm] und die Summanden verschwinden. Ist $n$ ungerade, so erhält man [mm] $(-1)^{n+1}+1=1+1=2$ [/mm] und die Reihe würde sich dann wie folgt vereinfacht darstellen:
[mm] \sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{2}{2n+1}\cdot x^{2n+1}
[/mm]
oder durch Aufschreiben der ersten Summanden und erkennen:
[mm] \sum\limits_{n=1}^\infty\Bigl( (-1)^{n+1}+1\Bigr)\dfrac{x^n}{n}=2\cdot\dfrac{x^1}{1}+0\cdot\dfrac{x^2}{2}+2\cdot\dfrac{x^3}{3}+0\cdot\dfrac{x^4}{4}+\ldots=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{2}{2n+1}\cdot x^{2n+1}=2\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{1}{2n+1}\cdot x^{2n+1}
[/mm]
Korrekt so?
Nur leider verliere ich dann die Form der Taylorreihe, also das [mm] $x^n$. [/mm] Oder lässt sich noch irgendwie so hinbiegen?
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Hallo huzein,
> Ok, also ist [mm]n[/mm] gerade, so ist [mm](-1)^{n+1}+1=0[/mm] und die
> Summanden verschwinden. Ist [mm]n[/mm] ungerade, so erhält man
> [mm](-1)^{n+1}+1=1+1=2[/mm] und die Reihe würde sich dann wie folgt
> vereinfacht darstellen:
>
> [mm]\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{2}{2n+1}\cdot x^{2n+1}[/mm]
>
> oder durch Aufschreiben der ersten Summanden und erkennen:
>
> [mm]\sum\limits_{n=1}^\infty\Bigl( (-1)^{n+1}+1\Bigr)\dfrac{x^n}{n}=2\cdot\dfrac{x^1}{1}+0\cdot\dfrac{x^2}{2}+2\cdot\dfrac{x^3}{3}+0\cdot\dfrac{x^4}{4}+\ldots=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{2}{2n+1}\cdot x^{2n+1}=2\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{1}{2n+1}\cdot x^{2n+1}[/mm]
>
> Korrekt so?
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nur leider verliere ich dann die Form der Taylorreihe, also
> das [mm]x^n[/mm]. Oder lässt sich noch irgendwie so hinbiegen?
Die Taylorreihe kannst Du etwas umformen:
[mm]2\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{1}{2n+1}\cdot x^{2n+1}=2x\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{1}{2n+1}\cdot x^{2n}=2x\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{1}{2n+1}\cdot \left( \ x^{2} \ \right)^{n}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Fr 27.04.2012 | | Autor: | huzein |
Ok super, danke! Dann also zu b.
Hier soll gezeigt werden, dass $f(x)=T(f,0)(x)$ für alle [mm] $x\in\left(-\frac12,\frac12\right)$.
[/mm]
Aber das habe ich ja eigentlich mit a. durch die Gleichheitsrelation schon gezeigt oder?! Denn es ist ja nun
[mm] $f(x)=\ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)=2x\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{1}{2n+1}\left(x^2\right)^n=T(f,0)(x)$
[/mm]
Weiter ist mir unklar weshalb das $x$ eingeschränkt wird auf das Intervall $(-1/2,1/2)$ denn der Konvergenzradius ist, wenn ich mich nicht irre 1, denn
setze [mm] a_n:=\dfrac{1}{2n+1}, [/mm] dann ist
[mm] $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{2n+1}{2n+3}=\dfrac{1+\frac{1}{2n}}{1+\frac{3}{2n}}\overset{n\to\infty}{\longrightarrow} [/mm] 1$
und daher müsste die Taylorreihe doch auf dem gesamten Intervall (-1,1) mit $f$ übereinstimmen?!
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Hallo huzein,
> Ok super, danke! Dann also zu b.
>
> Hier soll gezeigt werden, dass [mm]f(x)=T(f,0)(x)[/mm] für alle
> [mm]x\in\left(-\frac12,\frac12\right)[/mm].
> Aber das habe ich ja eigentlich mit a. durch die
> Gleichheitsrelation schon gezeigt oder?! Denn es ist ja
> nun
>
> [mm]f(x)=\ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)=2x\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{1}{2n+1}\left(x^2\right)^n=T(f,0)(x)[/mm]
>
> Weiter ist mir unklar weshalb das [mm]x[/mm] eingeschränkt wird auf
> das Intervall [mm](-1/2,1/2)[/mm] denn der Konvergenzradius ist,
Dann muß f(x) so lauten:
[mm]f(x)=\ln\left(\dfrac{1+\blue{2}x}{1-\blue{2}x}\right)[/mm]
> wenn ich mich nicht irre 1, denn
>
> setze [mm]a_n:=\dfrac{1}{2n+1},[/mm] dann ist
>
> [mm]\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{2n+1}{2n+3}=\dfrac{1+\frac{1}{2n}}{1+\frac{3}{2n}}\overset{n\to\infty}{\longrightarrow} 1[/mm]
>
> und daher müsste die Taylorreihe doch auf dem gesamten
> Intervall (-1,1) mit [mm]f[/mm] übereinstimmen?!
Ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Fr 27.04.2012 | | Autor: | huzein |
Hi,
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> Dann muß f(x) so lauten:
>
> [mm]f(x)=\ln\left(\dfrac{1+\blue{2}x}{1-\blue{2}x}\right)[/mm]
>
Sorry ich weiß nicht was du damit sagen möchtest. $f$ lautet so, wie ich sie angegeben habe.
Und ist denn b. mit a. schon beantwortet?
> > wenn ich mich nicht irre 1, denn
> >
> > setze [mm]a_n:=\dfrac{1}{2n+1},[/mm] dann ist
> >
> >
> [mm]\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{2n+1}{2n+3}=\dfrac{1+\frac{1}{2n}}{1+\frac{3}{2n}}\overset{n\to\infty}{\longrightarrow} 1[/mm]
>
> >
> > und daher müsste die Taylorreihe doch auf dem gesamten
> > Intervall (-1,1) mit [mm]f[/mm] übereinstimmen?!
>
>
> Ja.
>
>
> Gruss
> MathePower
Mhh das ist gut, dass ich mit Konvergenzradius richtig lag aber hilft mir das auch nicht weiter denn es wird schließlich seinen Grund haben weshalb das Intervall auf (-1/2,1/2) eingeschränkt wird.
Nachtrag: Zur Taylorreihe nochmal: Um die Reihe in die normale Taylorform zu bringen müsste ich doch noch zum Beispiel [mm] $y:=x^2$ [/mm] setzen damit ich dann
[mm] 2\sqrt y\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{1}{2n+1}y^n
[/mm]
habe, oder? Dann hätte ich insgesamt
[mm] \ln\left(\dfrac{1+\sqrt y}{1-\sqrt y}\right)=2\sqrt y\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{1}{2n+1}y^n
[/mm]
Jetzt sieht die Reihe toll aus aber das [mm] \ln [/mm] passt mir nicht.
Ich weiß nicht... irgendwas kann da nicht stimmen....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:12 Fr 27.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich würde das nicht mit y bzw [mm] x^2 [/mm] schreiben und stehen lassen. alle ungeraden funktionen wie etwa sin haben nur ungerda exp, all geraden z.B cos haben nur gerade exp. das heißt nur, dass du mit T3 auch schon T4 hast, und mit T5 abschätzen muss usw.
Wenn du die Reihe in der ursprünglichen form inscreibst ist dir das vielleicht klarer. gerade das, nämlich dass man immer eine Ordnung mehr hat als berechnet, macht diese Reihe "besser" als die für ln(1+x)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Fr 27.04.2012 | | Autor: | huzein |
Danke für deine Anmerkung, ich bin mir aber nicht sicher ob ich dir ganz folgen kann. Du sagst also dass ich das ganze belassen soll bei
[mm] \ln\left(\dfrac{1+x}{1+x}\right)=\sum\limits_{n=1}^\infty\Bigl((-1)^{n+1}+1\Bigr)\dfrac{x^n}{n}
[/mm]
Das wollte ich auch anfangs tun, nur wenn ich nun den Konvergenzradius bestimmen möchte, erhalte ich im Nenner für gerade $n$ eine 0, was das ganze zum Problem macht und mich praktisch zum Umformen zwingt, denn setze
[mm] a_n:=\dfrac{(-1)^{n+1}+1}{n}
[/mm]
dann ist
[mm] \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\dfrac{(-1)^{2n+2}+1}{n+1}\cdot\dfrac{n}{(-1)^{n+1}+1}\right|
[/mm]
AHA ein Einfall, wie wäre denn das:
[mm] \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\dfrac{(-1)^{2n+2}+1}{n+1}\cdot\dfrac{n}{(-1)^{n+1}+1}\right|=\left|\dfrac{(-1)^{2n+2}+1}{n+1}\right|\cdot\left|\dfrac{n}{(-1)^{n+1}+1}\right|\leq\left(\left| \dfrac{(-1)^{2n+2}}{n+1} \right| + \left| \dfrac{1}{n+1} \right|\right)\cdot\left|\dfrac{n}{(-1)^{n+1}+1}\right|=\dfrac{2}{n+1}\cdot\left|\dfrac{n}{(-1)^{n+1}+1}\right|\leq\dfrac{2}{n+1}\cdot\left|\dfrac{n}{(-1)^{n+1}}\right|=\dfrac{2}{n+1}\cdot n\to2
[/mm]
und damit ist der Konvergenzradius [mm] \frac12.
[/mm]
Sieht gut aus denk ich, oder doch irgendwo ein Fehler?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:27 Fr 27.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein so kannst du nicht abschätzen; dafür musst du schon die Reihe mit [mm] x^2 [/mm] nehmen, wenn der kr für [mm] x^2 [/mm] 1 ist, dann auch für x. Du hast mit Konv.radius=1 doch gezeigt, dass es für (-0,5,0.5) konvergiert! Da stand ja nicht nur in...
und du kannst ruhig die 2n+1 stehen lassen sin und cos Reihe etwa schreibt man auch so.
Deine Abschätzung ist falsch, weil ja so [mm] a_n [/mm] =0 sein kann oder [mm] a_{n+1} [/mm] und die dann Unsinn wird
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:39 Fr 27.04.2012 | | Autor: | huzein |
Hi,
ok danke für das Feedback. Werd das dann bei der Vorüberlegung belassen.
Eine Frage hätte ich noch: Ohne das mit [mm] a_n [/mm] und [mm] a_{n+1} [/mm] zu erwähnen, welche Stelle der Abschätzung ist denn falsch?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Do 03.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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