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Hallo !
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe eine Funktion g(x) = (x+1) / ( x² - 4x + 3 ). Vereinfacht dargestellt wäre g(x) = -1 / ( x-1 ) + 2 / ( x-3 ).
Ich soll diese Funktion in der Umgebung [mm] x\circ [/mm] = 4 in eine Taylorreihe entwickeln. Wie mache ich das, denn soviel ich weiß, muß man doch solange g(x) ableiten bis die ableitung irgendwann 0 ist. Aber das geht ja gar nicht weil der nenner immer größer wird und der zähler nicht 0 wird. Könnt Ihr mir helfen?
gruß geierlamm
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Hallo geierlamm,
diese Aussage, daß die Ableitungen irgendwann verschwinden, trifft soviel ich weiss nur auf ganzrationale Polynome zu.
Ich habe aber einen Tipp für Dich.
Entwickle die beiden Funktionen
[mm]\frac{1}{{x\; - \;1}}[/mm] und [mm]\frac{1}{{x\; - \;3}}[/mm]
jeweils in eine Taylorreihe um [mm]x_{0}=4[/mm]:
Es ergibt sich hier eine Vorschift , wie die n-ten Ableitungen aussehen.
Dann ist
[mm]\frac{1} {{x\; - \;1}}\; = \;\sum\limits_{k = 0}^\infty {a_{k} \;\left( {x\; - \;4} \right)^{k} } [/mm]
und
[mm]\frac{1} {{x\; - \;3}}\; = \;\sum\limits_{k = 0}^\infty {b_{k} \;\left( {x\; - \;4} \right)^{k} } [/mm]
Gemäß der Zerlegung folgt dann:
[mm]\begin{gathered}
\frac{{x\; + \;1}}
{{x^2 \; - \;4x\; + \;3}}\; = \; - \sum\limits_{k = 0}^\infty {a_k \;\left( {x\; - \;4} \right)^{k} } \; + \;2\sum\limits_{k = 0}^\infty {b_k \;\left( {x\; - \;4} \right)^{k} } \hfill \\
= \;\sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( {2b_k \; - \;a_k } \right)\;\left( {x\; - \;4} \right)^{k} } \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Bitte sei so nett, und benutze das nächstemal den Formeleditor, das erhöht die Lesbarkeit der Formeln ungemein.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:30 Mo 24.01.2005 | | Autor: | geierlamm |
Hallo!
Vielen Dank. Die Idee ist gut , werde sie direkt in die Tat umsetzen.
Werde das nächste Mal auch den Formeleditor benutzen.
Danke geierlamm
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