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Taylorreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:36 Mi 16.05.2012
Autor: GigiLala

Ich brauche Hilfe bei der Entwicklung einer Taylorreihe um einen Punkt.

Und zwar habe ich die Funktion [mm] f(x)=sinh^2(ax-1) [/mm] mit a>0 gegeben.
Jetzt soll ich um den Punkt x0=1/a eben eine Taylorreihe entwickeln.

Meine bisher gebildeten Ableitungen:
[mm] f´(x)=cosh(ax-1)^2 [/mm] * 2(ax-1) * a
[mm] f´´(x)=sinh(ax-1)^2 [/mm] *2(ax-1)*a *2(ax-1)*a
[mm] f´´´(x)=cosh(ax-1)^2*2(ax-1)*a [/mm] *2(ax-1)*a *2(ax-1)*a
Ich hoffe die sind erstmal überhaupt richtig?!

Mein Problem ist jetzt, dass ich nachdem ich die Ableitungen gemacht habe, den Punkt x0 in diese eingesetzt habe überall 0 rauskam und somit wenn ich die 0 ins Näherungspolynom [mm] (x-x0)^n/n! [/mm] * [mm] f^n(x0) [/mm] einsetze wird natürlich auch alles 0.
Kann das sein?Wenn ja was bedeutet das dann für die Funktion?


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:55 Mi 16.05.2012
Autor: fred97


> Ich brauche Hilfe bei der Entwicklung einer Taylorreihe um
> einen Punkt.
>  
> Und zwar habe ich die Funktion [mm]f(x)=sinh^2(ax-1)[/mm] mit a>0
> gegeben.
>  Jetzt soll ich um den Punkt x0=1/a eben eine Taylorreihe
> entwickeln.
>  
> Meine bisher gebildeten Ableitungen:
>  [mm]f´(x)=cosh(ax-1)^2[/mm] * 2(ax-1) * a

Das ist völlig falsch.

Es ist f'(x)=2 sinh(ax-1)*cosh(ax-1)*a


>  [mm]f´´(x)=sinh(ax-1)^2[/mm] *2(ax-1)*a *2(ax-1)*a
>  [mm]f´´´(x)=cosh(ax-1)^2*2(ax-1)*a[/mm] *2(ax-1)*a *2(ax-1)*a
>  Ich hoffe die sind erstmal überhaupt richtig?!
>  
> Mein Problem ist jetzt, dass ich nachdem ich die
> Ableitungen gemacht habe, den Punkt x0 in diese eingesetzt
> habe überall 0 rauskam und somit wenn ich die 0 ins
> Näherungspolynom [mm](x-x0)^n/n![/mm] * [mm]f^n(x0)[/mm] einsetze wird
> natürlich auch alles 0.
>  Kann das sein?Wenn ja was bedeutet das dann für die
> Funktion?
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Zunächst ist [mm] $sinh(ax-1)=sinh(a(x-\bruch{1}{a}))$ [/mm]

Jetzt verschaffe Dir die Potenzreihenentwicklung von sinh(t) und setze darin [mm] t=a(x-\bruch{1}{a}) [/mm]

Damit hast Du schon mal die Taylorreihe von sinh(ax-1) um den Punkt [mm] x_0=1/a. [/mm]

FRED

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