Taylorreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:25 So 15.04.2012 | | Autor: | Xolf |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} x-\wurzel{x^2-6x} [/mm] Berechne den Grenzwert durch Heranziehen der ersten Glieder bekannter Potenzreihenentwicklungen. |
Hallo,
ich glaube mich daran erinnern zu können, dass die Dozentin kurz vor Vorlesungsschluss gesagt hat, man solle das mit Taylorreihen machen, allerdings klappt das so gar nicht. Der Grenzwert scheint 3 zu sein doch komme ich mit den Taylorreihen nicht so ganz klar; sollte ich einen möglichst großen Entwicklungspunkt nehmen, weil wir uns ja das Verhalten im Unendlichen anschauen wollen, oder einen praktischen, z.B. 3+wurzel{10}, damit bei den Ableitungen der Bruch wegfällt? Oder ist gemeint, dass mir die Funktion eigentlich bekannt sein sollte und ich bereits eine Reihe als Approximation kennen sollte ?=)
Danke schon einmal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Wie das mit Taylorreihen gehen soll, weiß ich auch nicht. Schließlich geht es ja um [mm]x \to \infty[/mm]. Eine Termumformung hilft. Für [mm]x \geq 6[/mm] gilt nämlich
[mm]x - \sqrt{x^2 - 6x} = \frac{6}{1 + \sqrt{1 - \frac{6}{x}}}[/mm]
Und hieran kann man alles ablesen.
Wie immer bei solchen Wurzelausdrücken ist der erste Hinweis: dritte binomische Formel.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:08 So 15.04.2012 | | Autor: | Xolf |
Danke erst einmal; ja so bin ich auch auf 3 gekommen, aber es geht halt darum es nicht so zu Lösen, sondern die Funktion als Reihe darzustellen und dort dann den GW abzulesen.
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Alternativ könntest du höchstens [mm]x = \frac{1}{t}[/mm] substituieren und den Grenzübergang [mm]t \to 0+0[/mm] durchführen.Du kommst dann auf die Reihenentwicklung
[mm]y = x - \sqrt{x^2 - 6x} = \frac{1}{t} \cdot \left( 1 - \sqrt{1 - 6t} \right) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{3}{k+1} {{2k} \choose k} \left( \frac{3}{2} \right)^k t^k[/mm]
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