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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Do 16.12.2010 | | Autor: | Zeitlos |
| Aufgabe | [mm] f(x)=\bruch{x+2}{(x-3)^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x-3} [/mm] + [mm] \bruch{5}{(x-3)^2}
[/mm]
Bestimmen Sie die Taylorreihe der Funktion f mit Entwicklungspunkt x=0!
Hinweis : Verwenden Sie die die Summenformel der geometrischen Reihe |
Ich weiß nicht wirklich, wie man eine Taylorreihe erstellen soll... dazu müsste man sie doch n mal ableiten ?
Der Hinweis mit der Summenformel hilft mir irgendwie auch nicht weiter, da ich durch das Erstellen der Taylorreihe der Summenformel ja nur die Potenzreihe der Funktion erhalten würde...
Mein Ansatz wäre die Partialbrüche "einzeln" zu behandeln...
[mm] \bruch{1}{x-3} [/mm] hätte ich auf die Form
[mm] \bruch{-1}{3} [/mm] * [mm] \bruch{1}{1-\bruch{x}{3}} [/mm]
gebracht... aber so könnte ich auch nur sagen, dass dies der Potenzreihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{-1}{3}* (\bruch{x}{3})^n [/mm]
entspricht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:25 Do 16.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f(x)=\bruch{x+2}{(x-3)^2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x-3}[/mm] +
> [mm]\bruch{5}{(x-3)^2}[/mm]
>
> Bestimmen Sie die Taylorreihe der Funktion f mit
> Entwicklungspunkt x=0!
>
> Hinweis : Verwenden Sie die die Summenformel der
> geometrischen Reihe
> Ich weiß nicht wirklich, wie man eine Taylorreihe
> erstellen soll... dazu müsste man sie doch n mal ableiten
> ?
>
> Der Hinweis mit der Summenformel hilft mir irgendwie auch
> nicht weiter, da ich durch das Erstellen der Taylorreihe
> der Summenformel ja nur die Potenzreihe der Funktion
> erhalten würde...
>
> Mein Ansatz wäre die Partialbrüche "einzeln" zu
> behandeln...
> [mm]\bruch{1}{x-3}[/mm] hätte ich auf die Form
>
> [mm]\bruch{-1}{3}[/mm] * [mm]\bruch{1}{1-\bruch{x}{3}}[/mm]
>
> gebracht... aber so könnte ich auch nur sagen, dass dies
> der Potenzreihe
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{-1}{3}* (\bruch{x}{3})^n[/mm]
>
> entspricht.
Das ist doch schon mal gut !
Für $ [mm] \bruch{5}{(x-3)^2} [/mm] $ denke an das Cauchyprodukt
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Do 16.12.2010 | | Autor: | Zeitlos |
Ja, aber mit einer Potenzreihe komme ich nicht sehr weit, wenn ich eine Taylorreihe bilden soll oder ?
Für eine Taylorreihe müsste ich ja ableiten & das n-mal ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Do 16.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn eine fkt durch ne Potenzreihe dargestllt wird ist dies eindeutig, und deshalb ist die geom. Reihe die 1/(1-x) gibt und die Taylorreihe identisch.
natürlich kannst du auch die ableitungen bilden. um dasselbe rauszukriegen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Do 16.12.2010 | | Autor: | Zeitlos |
Ich dachte die Taylorreihe der Summenfkt. von F entspricht genau der Potenzreihe von F ?
aber ich habe ja mit Hilfe der Summenfkt. nur die Potenzreihe von F aufgestellt, was eben die Taylorreihe der Summenfkt. ist... aber ich brauche ja die Taylorreihe von F !
versteh ich da irgendwas ganz falsch ?
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Hallo Zeilos,
> Ich dachte die Taylorreihe der Summenfkt. von F entspricht
> genau der Potenzreihe von F ?
Ich sehe kein [mm]F[/mm] ...
>
> aber ich habe ja mit Hilfe der Summenfkt. nur die
> Potenzreihe von F aufgestellt, was eben die Taylorreihe der
> Summenfkt. ist... aber ich brauche ja die Taylorreihe von F
> !
>
> versteh ich da irgendwas ganz falsch ?
Ich weiß nicht, was [mm]F[/mm] sein soll.
Du sollst die Taylorreihe von [mm]f(x)[/mm] angeben (in [mm]x_0=0[/mm])
Dazu hast du [mm]f(x)[/mm] schön zerlegt und bereits über die geometrische Summenformel den ersten Teil verarztet, also [mm]\frac{1}{x-3}[/mm]
Nun fehlt noch der zweite Teil, also [mm]-\frac{5}{(x-3)^2}[/mm]
Das kannst du mit dem Cauchyprodukt machen, wie bereits empfohlen, oder du schaust dir mal deine Potenzreihe für [mm]\frac{1}{x-3}[/mm] an und leitest die mal ab (sowohl die Reihe, und zwar gliedweise in ihrem Konvergenzbereich als auch [mm]\frac{1}{x-3}[/mm] ...
Dann solltest du doch schnell einen Zusammenhang erkennen
Dann die beiden Potenzreihen zusammensetzen (addieren) und du bist fertig ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Do 16.12.2010 | | Autor: | Zeitlos |
mit F habe ich eben f(x) also meine Angabe gemeint... etwas unglücklich gewählt den Ausdruck... tut mir sehr leid.
Ja, das versteh ich schon aber dann hab ich eben die Potenzreihe und nicht die Taylorreihe..
das ist das was ich nicht verstehe !!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Do 16.12.2010 | | Autor: | fred97 |
nehmen wir an, es gilt für eine Funktion f in einer Umgebung U von 0, dass
(*) $f(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n$
[/mm]
gilt für alle x [mm] \in [/mm] U.
Dann gilt: [mm] a_n= \bruch{f^{(n)}(0)}{n!} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 0
Somit steht rechts in (*) die Tayloreihe von f
Wenn f also wie in (*) eine Potenzreihenentwicklung hat, so ist
Potenzreihe= Taylorreihe.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Fr 17.12.2010 | | Autor: | Zeitlos |
dh ich kann in so einem fall einfach sagen Potenzreihe = Taylorreihe..
aber die Taylorreihe hat ja eben die besondere Form von
[mm] a_{n}= \bruch{f^{n}(a)}{n!}
[/mm]
muss ich meine Potenzreihe dann nicht irgendwie auf diese Form bringen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:31 Fr 17.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
das stand doch schon da: wenn du irgendeine potenzreihe hast, die die fkt darstellt ist $ [mm] a_{n}= \bruch{f^{n}(a)}{n!} [/mm] $
was willst du da noch hinschreiben?
Gruss leduart
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