Taylorreihe < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 Mo 05.04.2010 | | Autor: | nana |
Hallo, liebe Leute!!
Ich hab eine Frage zu der Taylorreihe:
alsooo: f heißt analytisch (in [mm] x_{0}), [/mm] wenn die zugehörige Taylorreihe (um [mm] x_{0}) [/mm] konvergiert und [mm] f(x)=Taylorreihe(x_{0},x).
[/mm]
Heißt das, dass wenn die Taylorreihe konvergiert, das noch nicht heißt dass sie auch die Funktion darstellt??
Also muss man um zu zeigen dass die beiden gleich sind noch eine Restgliedabschätzung (des Langrangeschen Restglieds) machen?
Vielen Dank für alle Antworten!
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 19:26 Mo 05.04.2010 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
> Hallo, liebe Leute!!
> Ich hab eine Frage zu der Taylorreihe:
> alsooo: f heißt analytisch (in [mm]x_{0}),[/mm] wenn die
> zugehörige Taylorreihe (um [mm]x_{0})[/mm] konvergiert und
> [mm]f(x)=Taylorreihe(x_{0},x).[/mm]
Für eine genaue Definition siehe:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Analytische_Funktion
> Heißt das, dass wenn die Taylorreihe konvergiert, das
> noch nicht heißt dass sie auch die Funktion darstellt??
Doch tut sie, aber eben nur lokal, d.h. für Funktionswerte $x$ innerhalb des Konvergenzkreises.
> Also muss man um zu zeigen dass die beiden gleich sind noch
> eine Restgliedabschätzung (des Langrangeschen Restglieds)
> machen?
Nein, das Lagrangesche Restglied tritt nur bei der Taylorformel und nicht bei der Taylorreihe auf.
> Vielen Dank für alle Antworten!
Besten Gruß
Denny
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Mo 05.04.2010 | | Autor: | nana |
Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort, aber ganz klar ist es mir immer noch nicht.
> > Ich hab eine Frage zu der Taylorreihe:
> > alsooo: f heißt analytisch (in [mm]x_{0}),[/mm] wenn die
> > zugehörige Taylorreihe (um [mm]x_{0})[/mm] konvergiert und
> > [mm]f(x)=Taylorreihe(x_{0},x).[/mm]
>
> Für eine genaue Definition siehe:
> http://de.wikipedia.org/wiki/Analytische_Funktion
>
> > Heißt das, dass wenn die Taylorreihe konvergiert, das
> > noch nicht heißt dass sie auch die Funktion darstellt??
>
> Doch tut sie, aber eben nur lokal, d.h. für Funktionswerte
> [mm]x[/mm] innerhalb des Konvergenzkreises.
Also wenn der Konvergenzradius [mm] \infty [/mm] ist, stellt die Reihe schon die Funktion dar???
>
> > Also muss man um zu zeigen dass die beiden gleich sind noch
> > eine Restgliedabschätzung (des Langrangeschen Restglieds)
> > machen?
>
> Nein, das Lagrangesche Restglied tritt nur bei der
> Taylorformel und nicht bei der Taylorreihe auf.
Das weiß ich (also wenn du mit Taylorformel meinst dass eine Funktion=Taylorpolynom+Lang... Restglied ist).
Also Grundlage für meine Frage war eine Beispielaufgabe aus unserem Skript, in dem für die Taylorreihe der Konv-radius [mm] \infty [/mm] war, aber tdm geguckt wurde ob das Restglied gegen 0 konv.
Vielen Dank für alle Antworten!
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(Antwort) fehlerhaft | | Datum: | 19:58 Mo 05.04.2010 | | Autor: | Denny22 |
> Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort, aber ganz
> klar ist es mir immer noch nicht.
>
>
> Also wenn der Konvergenzradius [mm]\infty[/mm] ist, stellt die Reihe
> schon die Funktion dar???
Richtig. In diesem Fall ist der Konvergenzkreis die gesamte Komplexe Zahlenebene.
> Das weiß ich (also wenn du mit Taylorformel meinst dass
> eine Funktion=Taylorpolynom+Lang... Restglied ist).
Ja das meinte ich.
> Also Grundlage für meine Frage war eine Beispielaufgabe
> aus unserem Skript, in dem für die Taylorreihe der
> Konv-radius [mm]\infty[/mm] war, aber tdm geguckt wurde ob das
> Restglied gegen 0 konv.
D.h. zunächst war der Konvergenzradius der Taylorreihe unendlich. Damit ist die Funktion (die durch diese Taylorreihe dargestellt wir) beliebig oft differenzierbar. D.h. die Ableitungen beliebiger Ordnung dieser Funktion sind wohldefiniert (!!!) und zwar (da der Konvergenzradius unendlich ist) überall auf [mm] $\IC$. [/mm]
Anschließend habt ihr (zur Approximation der Funktion) die Taylorformel verwendet, für die ihr wiederum die Ableitungen benötigt. Da die Funktion (wegen der Taylorreihe) beliebig oft diffbar ist, könnt ihr die Taylorpolynome von beliebig hoher Ordnung wählen. In diesem Zusammenhang habt ihr das Taylorpolynom und das (Lagrangesche-) Restglied hinsichtlich der Konvergenz untersucht.
Ich hoffe, dass Dir dies die Vorgehensweise und den Hintergrund dieser Vorgehensweise etwas verdeutlicht. Der Grund ist der, dass die Taylorreihe euch die Existenz der Ableitungen beliebiger Ordnung garantiert (wie auch immer Eure Funktion aussehen mag).
> Vielen Dank für alle Antworten!
>
>
Denny
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 17:17 Di 06.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort, aber ganz
> > klar ist es mir immer noch nicht.
> >
> >
> > Also wenn der Konvergenzradius [mm]\infty[/mm] ist, stellt die Reihe
> > schon die Funktion dar???
>
> Richtig. In diesem Fall ist der Konvergenzkreis die gesamte
> Komplexe Zahlenebene.
Da stimmt nicht ! Siehe unten
FRED
>
> > Das weiß ich (also wenn du mit Taylorformel meinst dass
> > eine Funktion=Taylorpolynom+Lang... Restglied ist).
>
> Ja das meinte ich.
>
> > Also Grundlage für meine Frage war eine Beispielaufgabe
> > aus unserem Skript, in dem für die Taylorreihe der
> > Konv-radius [mm]\infty[/mm] war, aber tdm geguckt wurde ob das
> > Restglied gegen 0 konv.
>
> D.h. zunächst war der Konvergenzradius der Taylorreihe
> unendlich. Damit ist die Funktion (die durch diese
> Taylorreihe dargestellt wir) beliebig oft differenzierbar.
> D.h. die Ableitungen beliebiger Ordnung dieser Funktion
> sind wohldefiniert (!!!) und zwar (da der Konvergenzradius
> unendlich ist) überall auf [mm]\IC[/mm].
> Anschließend habt ihr (zur Approximation der Funktion) die
> Taylorformel verwendet, für die ihr wiederum die
> Ableitungen benötigt. Da die Funktion (wegen der
> Taylorreihe) beliebig oft diffbar ist, könnt ihr die
> Taylorpolynome von beliebig hoher Ordnung wählen. In
> diesem Zusammenhang habt ihr das Taylorpolynom und das
> (Lagrangesche-) Restglied hinsichtlich der Konvergenz
> untersucht.
>
> Ich hoffe, dass Dir dies die Vorgehensweise und den
> Hintergrund dieser Vorgehensweise etwas verdeutlicht. Der
> Grund ist der, dass die Taylorreihe euch die Existenz der
> Ableitungen beliebiger Ordnung garantiert (wie auch immer
> Eure Funktion aussehen mag).
>
> > Vielen Dank für alle Antworten!
> >
> >
>
> Denny
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 17:18 Di 06.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > Hallo, liebe Leute!!
> > Ich hab eine Frage zu der Taylorreihe:
> > alsooo: f heißt analytisch (in [mm]x_{0}),[/mm] wenn die
> > zugehörige Taylorreihe (um [mm]x_{0})[/mm] konvergiert und
> > [mm]f(x)=Taylorreihe(x_{0},x).[/mm]
>
> Für eine genaue Definition siehe:
> http://de.wikipedia.org/wiki/Analytische_Funktion
>
> > Heißt das, dass wenn die Taylorreihe konvergiert, das
> > noch nicht heißt dass sie auch die Funktion darstellt??
>
> Doch tut sie, aber eben nur lokal, d.h. für Funktionswerte
> [mm]x[/mm] innerhalb des Konvergenzkreises.
Das stimmt nicht. Siehe unten
FRED
>
> > Also muss man um zu zeigen dass die beiden gleich sind noch
> > eine Restgliedabschätzung (des Langrangeschen Restglieds)
> > machen?
>
> Nein, das Lagrangesche Restglied tritt nur bei der
> Taylorformel und nicht bei der Taylorreihe auf.
>
> > Vielen Dank für alle Antworten!
>
> Besten Gruß
> Denny
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Di 06.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, liebe Leute!!
> Ich hab eine Frage zu der Taylorreihe:
> alsooo: f heißt analytisch (in [mm]x_{0}),[/mm] wenn die
> zugehörige Taylorreihe (um [mm]x_{0})[/mm] konvergiert und
> [mm]f(x)=Taylorreihe(x_{0},x).[/mm]
> Heißt das, dass wenn die Taylorreihe konvergiert, das
> noch nicht heißt dass sie auch die Funktion darstellt??
Genau, so etwas kann passieren: Beispiel:
$f(x) := [mm] e^{-\bruch{1}{x^2}}$, [/mm] falls x [mm] \ne [/mm] 0
und $f(0):=0$
Dann gilt: f ist auf [mm] \IR [/mm] beliebig oft differenzierbar und [mm] $f^{(n)}(0)= [/mm] 0$ für jedes n [mm] \in \IN_0
[/mm]
Somit konvergiert die Taylorreihe von f trivialerweise auf ganz [mm] \IR, [/mm] aber es gilt nur:
[mm]f(x)=Taylorreihe(0,x) \gdw x=0[/mm]
> Also muss man um zu zeigen dass die beiden gleich sind noch
> eine Restgliedabschätzung (des Langrangeschen Restglieds)
> machen?
Ja , das ist eine Möglichkeit
FRED
> Vielen Dank für alle Antworten!
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