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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 Mo 17.01.2005 | | Autor: | ThomasK |
Hi
Sei s [mm] \in \IC, [/mm] und sei f : (−1,1) [mm] \to [/mm] C durch f(x) = (1 + [mm] x)^{s} [/mm] definiert.
Wie sollen jetzt nachrechnen, ob die Taylorreihe zu f in 0 die Binomialreihe [mm] B_{s}(x) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \vektor{s \\ k} x^{k} [/mm] ist.
Kann mir da jemand weiter helfen oder ein Ansatz geben?
mfg
Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:20 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Thomas!
Es gilt doch offenbar
[mm] $f^{(k)}(x) [/mm] = s [mm] \cdot [/mm] (s-1) [mm] \cdot \ldots \cdot [/mm] (s-k+1) [mm] \cdot (1+x)^{s-k}$,
[/mm]
also:
[mm] $\frac{f^{(k)}(0)}{k!} [/mm] = [mm] \frac{ s \cdot (s-1) \cdot \ldots \cdot (s-k+1) }{k!} [/mm] = {s [mm] \choose [/mm] k}$.
Daraus folgt die Behauptung. 
Liebe Grüße
Stefan
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