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| Aufgabe | Wie lautet die Taylorreihe der Funktion f mit
[mm] f(x)=ln(1+x)-\bruch{\alpha x}{1+ \beta x}
[/mm]
um x = 0?
Bestimmen sie [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] so, dass die Reihe mit einer größtmöglichen hohen Potenz von x beginnt! |
Bei der Taylorreihe muss man ja ableiten und dort auch x=0 einsetzetn etc...jedoch gibt es hier ja garnichts mit ableiten ode doch?!
wie kommt man auf alpha und beta?
vielen dank
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> Wie lautet die Taylorreihe der Funktion f mit
> [mm]f(x)=ln(1+x)-\bruch{\alpha x}{1+ \beta x}[/mm]
> um x = 0?
> Bestimmen sie [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] so, dass die Reihe mit
> einer größtmöglichen hohen Potenz von x beginnt!
> Bei der Taylorreihe muss man ja ableiten und dort auch x=0
> einsetzetn etc...jedoch gibt es hier ja garnichts mit
> ableiten ode doch?!
Hallo,
natürlich gibt's hier etwas abzuleiten - die Funktion, um welche es geht: f(x).
> wie kommt man auf alpha und beta?
Aus dem Stand kann man das wohl nicht sagen.
Da wirst Du zuerst die Taylorreihe aufstellen müssen, und Dir dann Gedanken darüber machen.
Gruß v. Angela
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nich meinte halt, weil nicht dran steht wieviele ableitungen...
also ich hab jetzt Folgendes:
f(0) = 0
f´(0) = [mm] 1-\alpha
[/mm]
f´´(0) = -1 + [mm] 2\alpha\beta
[/mm]
-> T(x,0) = [mm] (1-\alpha)x [/mm] + (-1 + [mm] 2\alpha\beta)x² [/mm] / 2! + ....+ R(x,0)
aber wie dann weiter?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:47 Mi 14.02.2007 | | Autor: | KaiTracid |
also mit meiner Taylorreihe von oben bin ich auf folgendes gekommen:
wenn [mm] \alpha [/mm] = 1 ist und [mm] \beta [/mm] = 1/2 dann beginnt die Taylorreihe mit x³! Stimmt das so? oder gibt es noch ne höhere Potenz?
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> also mit meiner Taylorreihe von oben bin ich auf folgendes
> gekommen:
> wenn [mm]\alpha[/mm] = 1 ist und [mm]\beta[/mm] = 1/2 dann beginnt die
> Taylorreihe mit x³! Stimmt das so? oder gibt es noch ne
> höhere Potenz?
Das sieht mir richtig aus.
Gruß v. Angela
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> nich meinte halt, weil nicht dran steht wieviele
> ableitungen...
>
> also ich hab jetzt Folgendes:
>
> f(0) = 0
> f´(0) = [mm]1-\alpha[/mm]
> f´´(0) = -1 + [mm]2\alpha\beta[/mm]
>
> -> T(x,0) = [mm](1-\alpha)x[/mm] + (-1 + [mm]2\alpha\beta)x²[/mm] / 2! +
> ....+ R(x,0)
>
> aber wie dann weiter?
Hallo,
leite mal noch ein bißchen ab, bis Du ein "Muster" erkennst, also die n-te Ableitung aufschreiben kannst und somit das n-te Taylorpolynom.
EDITIERT:
[mm] f^{(n)}(x)=(-1)^{n+1}\bruch{(n-1)!}{(1+x)^{n}}+(-1)^{n}\bruch{n!ab^{n-1}}{(1+bx)^{n+1}}
[/mm]
(Unbedingt kontrollieren bzw. beweisen!)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:06 Mi 14.02.2007 | | Autor: | KaiTracid |
ich glaube die hochzahlen stimmen nicht bei den Brüchen oder?weil n erhöht cich doch immer um 2 beim ableiten...so würde 1,2,3,4,5...als hochzahlen darstehen!?
aber ich komm grad au net drauf wies richtig heisen könnte!?
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Ermitteln sie die Konvergenzradien der Taylorreihen von f un f´um x=0 mit den von ihnen bestimmten zahlen alpha und betha!
---> also alpha und betha hab ich ja von oben jetzt!
d.h:
f(x)= ln(1+x) - x/(1+0.5x)
f´(x) = 1/1+x) - ((1+0.5x) - 0.5x)/(1+0.5)² (hoff hab mich net verrechnet?!)
wenn ich x= o einsetze dann kommt bei f(0) und f´(0) 0 raus!
oder muss ich des anders machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Mi 14.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] grad so bestimmt, dass f(0), f'(0)und f''(0) 0 sind .Also ist das richtig! Und angela hat dir schon die allgemeine Reihe hingeschrieben, du musst nur noch die richtigen koeff. einsetzen, dann hast du die Reihe, deren Konvergenzradius du best. sollst.
Gruss leduart
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f(x) = ln (1+x) - x/(1+0.5x)
f´(x)= 1/(1+x) - 1/(1+0.5x)²
also ich hab mal gelesen,dass die Konvergenzradien beim ableiten gleich bleiben, d.h. ich müsste nur f(x) de radius berechnen! Stimmt des?
wie kann ich den radius hier berechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 Mi 14.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du sollst doch den Konvergenzradius der Taylorreihe bestimmen! eine Funktion hat keinen Konvergenzradius, Eine Reihe schon. Also schreib die Reihe allgemein auf, vergiss, woher du sie hast, und bestimme den Konvergenzradius der Reihe!
Gruss leduart
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[mm] f^{(n)}(x)=\bruch{(-1)^{n+1}}{(1+x)^n}+(-1)^{n}\bruch{n!0.5^{n-1}}{(1+0.5x)^{n+1}}
[/mm]
aber wie soll ich davon jetzt den konvergenzradius bestimmen?! und was hat es dann überhaupt mit f unf f´ auf sich?!
Hoff mir kann nochmal jemand helfen! Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Mi 14.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
In die Taylorreihe musst du doch erst die [mm] f^{(n)}(0) [/mm] einsetzen und mit [mm] x^n/n! [/mm] multiplizieren, dann erst hast du ne Reihe der Form [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_nx^n
[/mm]
also schreib die Taylorreihe erst mal auf und bestimme die [mm] a_n.
[/mm]
Wenn du nicht weisst, wie man den Konvergenzradius aus den [mm] a_n [/mm] bestimmt, musst du unter konvergenzradius etwa bei wiki nachlesen. aber bestimmt habt ihr das gemacht.
Und mit f, f' hat das direkt nichts zu tun!
Die Taylorreihe ergibt die Funktion WENN sie konvergiert, endliche Teilsummen der TR naehern die Funktion in der Naehe der Entwicklungsstelle an.
nur f(0) und f'(0) zu kennen hilft dabei noch nicht viel, damit kannst du die fkt nur durch ihre Tangente approximieren.
Lies nochmal nach, was die taylorreihe soll, ich glaub, das ist dir nicht klar!
Gruss leduart
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[mm] f^{(n)}(x)=(\bruch{(-1)^{n+1}}{(1+x)^n}+(-1)^{n}\bruch{n!0.5^{n-1}}{(1+0.5x)^{n+1}} [/mm] * [mm] x^{n} [/mm] )/n!
ist das hier jetzt die Taylorreihe?! ich komm grad irgendwie garnicht mehr weiter...
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Hallo Kai!
Hierbei kann es sich doch gar nicht um die entsprechende ![[]](/images/popup.gif) Taylor-Reihe handeln.
Schließlich muss diese eine Reihe sein; sprich: eine (unendliche) Summe darstellen:
[mm] $T_a(x) [/mm] \ = \ [mm] f(a)+\bruch{f'(a)}{1!}*(x-a)^1+\bruch{f''(a)}{2!}*(x-a)^2+\bruch{f'''(a)}{3!}*(x-a)^3+...+\bruch{f^{(n)}(a)}{n!}*(x-a)^n+... [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{(n)}(a)}{n!}*(x-a)^n$
[/mm]
In unserem Falle gilt ja $a \ = \ 0$ und Du musst die entsprechenden Ableitungswerte [mm] $f^{(n)}(a) [/mm] \ = \ [mm] f^{(n)}(0) [/mm] \ = \ ...$ einsetzen.
Gruß vom
Roadrunner
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ja des was ich geschrieben hatte sollte ja die Summe sein...hatte nur de summenzeichen vergessen...weil des [mm] (x-a)^n [/mm] hab ich ja mit reingenommen
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> ja des was ich geschrieben hatte sollte ja die Summe
> sein...hatte nur de summenzeichen vergessen...weil des
> [mm](x-a)^n[/mm] hab ich ja mit reingenommen
Hallo,
in Deinem vorletzten Post schriebst Du:
> $ [mm] f^{(n)}(x)=(\bruch{(-1)^{n+1}}{(1+x)^n}+(-1)^{n}\bruch{n!0.5^{n-1}}{(1+0.5x)^{n+1}} [/mm] $ * $ [mm] x^{n} [/mm] $ )/n!
> ist das hier jetzt die Taylorreihe?! ich komm grad irgendwie garnicht mehr weiter...
Ich sehe da weder ein Summenzeichen, noch die Potenzen [mm] x^n [/mm] ( [mm] =(x-0)^n), [/mm] und die [mm] f^{(n)}(0) [/mm] kann ich auch nicht entdecken...
Wo sind die [mm] \alpha, \beta [/mm] geblieben?
Beachte bei Deinen weiteren Bemühungen, daß die Formel für die n-ten Ableitungen nicht ganz richtig war!
Wenn Du die Taylorreihe haben möchtest, mußt Du es so machen, wie Roadrunner es Dir sagt:
[mm] $T_a(x) [/mm] \ = \ [mm] f(a)+\bruch{f'(a)}{1!}\cdot{}(x-a)^1+\bruch{f''(a)}{2!}\cdot{}(x-a)^2+\bruch{f'''(a)}{3!}\cdot{}(x-a)^3+...+\bruch{f^{(n)}(a)}{n!}\cdot{}(x-a)^n+... [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{(n)}(a)}{n!}\cdot{}(x-a)^n$
[/mm]
"a" ist bei Dir die "0".
Gruß v. Angela
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ich hatte ja im weiteren post geschrieben,dass ich des summenzeichen vergessen hatte! und [mm] x^{n} [/mm] hab ich auch mit reingeschrieben (mein a ist ja 0) hatte nur eine klammer vergessen gehabt!
die alpha und die betha hab ich ja dann eingesetzt die ich ja oben rausbekommen hatte, was aber zur neuen aufgabe schon gehört hatte! Also heir ohne einsetzen!
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}=(((-1)^{n+1}\bruch{(n-1)!}{(1+x)^{n}}+(-1)^{n}\bruch{n!ab^{n-1}}{(1+bx)^{n+1}} )x^{n}) [/mm] /n!
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>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}=(((-1)^{n+1}\bruch{(n-1)!}{(1+x)^{n}}+(-1)^{n}\bruch{n!ab^{n-1}}{(1+bx)^{n+1}} )x^{n})[/mm]
> /n!
Hallo,
ich sehe immer noch nicht die [mm] f^{(n)}(0).
[/mm]
Jetzt hast Du so etwas ähnliches wie [mm] \summe\bruch{f^{(n)}(x)}{n!}x^n.
[/mm]
Prüfen solltest Du auch, ob Du so das richtige f(0) bekommst, oder ob die Summe erst ab 1 laufen darf.
(Irgendwo schrieb ich es: die Ableitungsformel ist noch zu beweisen. Induktion)
Gruß v. Angela
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oh die summe läuft erst ab 1!
mit dem [mm] f^{(n)}(0) [/mm] weis ich nicht genau was ich noch machen soll?!
oder einfach die summe hinschreiebn wo x=0 ist?! Aber das wäre ja dann des von oben?!
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> mit dem [mm]f^{(n)}(0)[/mm] weis ich nicht genau was ich noch machen
> soll?!
> oder einfach die summe hinschreiebn wo x=0 ist?! Aber das
> wäre ja dann des von oben?!
Hm. Ich weiß echt nicht, was Du mit "einfach die summe hinschreiebn wo x=0 ist?!" meinst...
Du brauchst doch [mm] T_a(x)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{(n)}(a)}{n!}\cdot{}(x-a)^n [/mm] ,
hier also
[mm] T_0(x)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{(n)}(0)}{n!}\cdot{}x^n.
[/mm]
Du mußt in die n-ten Ableitungen also x=0 einsetzten.
(Lies Dir die Taylorsachen nochmal durch. Ich meine nicht die Beweise, Details usw., sondern das, was Dir sagt, was man mit einem Taylorpolynom überhaupt will. Ich habe das Gefühl, daß Du überhaupt nicht weißt, was Du tust.)
Gruß v. Angela
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Hallo,
die n-te Ableitung in meinem Post oben muß (jetzt hoffentlich richtig) heißen
[mm]f^{(n)}(x)=(-1)^{n+1}\bruch{(n-1)!}{(1+x)^{n}}+(-1)^{n}\bruch{n!ab^{n-1}}{(1+bx)^{n+1}}[/mm]
(Es fehlte die Fakultät im ersten Term.)
Gruß v. Angela
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