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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Fr 26.01.2007 | | Autor: | clwoe |
| Aufgabe | Entwickeln sie [mm] \bruch{x}{x^{2}-x-2} [/mm] in einer Taylorreihe um [mm] x_{0}=0
[/mm]
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Hi,
also die Taylorapproximation habe ich verstanden und auch die Entwicklung der Reihe über die n-ten Ableitungen der Funktion.
Mein Problem ist nur ich finde keinen Zusammenhang zwischen den Ableitungen, so das ich die Taylorkoeffizienten hinter dem Summenzeichen allgemein darstellen kann. Weil dann wäre ich ja auch schon fertig.
Ich habe vom obigen Term die 1., 2. und auch noch die 3. Ableitung gebildet, wobei die dritte schon der blanke Horror war. Dann habe ich die Ableitungen von [mm] x_{0}=0 [/mm] bestimmt.
Für die erste Ableitung ist der Taylorkoeffizient 0. Für die erste Ableitung ist der Taylorkoeffizient [mm] \bruch{-1}{2} [/mm] und für die zweite Ableitung ist er [mm] \bruch{1}{4}. [/mm] Für die dritte Ableitung müsste er eigentlich [mm] \bruch{-3}{8} [/mm] sein nach meiner Berechnung, obwohl dieses Ergebnis überhaupt nicht ins Schema passt. Der Bruch [mm] \bruch{-1}{8} [/mm] wäre eigentlich logischer, denn dann könnte ich die Taylorkoeffizienten ganz einfach darstellen als: [mm] f^{n}(0)=\bruch{(-1)^{n}}{2^{n}}. [/mm] Nur für mein Ergebnis haut diese Formel dann nicht hin. Ich habe am PC mal die Taylorapproximation mit meiner angenommenen richtigen allgemeinen Formel, die ich oben aufgestellt habe durchgeführt, und es funktioniert eigentlich wunderbar. Nun weiss ich nicht, ob ich mich verrechnet habe bei irgendeiner der Ableitungen, oder ob es vielleicht doch irgendwie einen Zusammenhang zwischen den drei Ergebnissen der Ableitungen gibt. Jedenfalls habe ich meine Ableitungen schon zum tausendsten Mal überprüft und wüsste nicht wo mein Fehler liegt, oder ob ich überhaupt einen Fehler gemacht habe.
Wäre echt super, wenn mir irgendjemand hier weiterhelfen könnte.
Gruß,
clwoe
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> Entwickeln sie [mm]\bruch{x}{x^{2}-x-2}[/mm] in einer Taylorreihe um
> [mm]x_{0}=0[/mm]
>
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Hallo,
um die Ableitungen behaglich berechnen zu können und ein System zu erkennen, ist es bestimmt sinnig,
wenn Du [mm] \bruch{x}{x^{2}-x-2} [/mm] als [mm] \bruch{A}{x+1}+\bruch{B}{x-2}=A(x+1)^{-1}+B(x-2)^{-1} [/mm] schreibst. (Partialbruchzerlegung)
Da muß man dann auch bei der 5.Ableitung noch nicht die Nerven verlieren.
Gruß v. Angela
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Ich habe noch eine Alternative, bei der du nicht ableiten mußt.
Und zwar beruht die auf dem trick, daß du zusammengesetzte Funktionen auch aus Taylorreihen zusammensetzen kannst.
Hier brauchst du nur die bekannte Taylorreihe [mm] $\frac{1}{1-z}=1+z+z^2+z^3+...$
[/mm]
Diese mit -1 multipliziert ergibt
[mm] $\frac{1}{z-1}=1-z-z^2-z^3+...$
[/mm]
Statt z wird hier x²-x-1(!) eingesetzt. Dieses Polynom ist ja bereits deine eigene Taylorentwicklung!
Eingesetzt ergibt das:
[mm] $\frac{1}{x^2-x-1-1}=1-(x^2-x-1)-(x^2-x-1)^2-(x^2-x-1)^3+...$
[/mm]
Im Zähler steht nun noch ein x, also wird alles mit x durchmultipliziert (ist ja seine eigene Taylorentwicklung)
[mm] $\frac{x}{x^2-x-1-1}=x-x(x^2-x-1)-x(x^2-x-1)^2-x(x^2-x-1)^3+...$
[/mm]
Eine unendliche Summe läßt sich damit sofort hinschreiben, eine "reine Polynomsumme" kann man sich evtl daraus zurechtbasteln.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:26 Sa 27.01.2007 | | Autor: | clwoe |
Hi,
vielen Dank für die Hilfe. Habs verstanden. Man sieht auch das sich die so gefundene Taylorreihe wesentlich besser an den Graph anschmiegt als die, die ich gefunden habe.
Gruß,
clwoe
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