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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 Di 18.07.2006 | | Autor: | papillon |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm] \bruch{sin x}{cos y}.
[/mm]
Entwickeln sie die taylorreihe bis zur ordnung 4 im Punkt (0,0)! |
Hallo!
Mein erster einfall war, die partiellen ableitungen auszurechnen und in die formel einzusetzen....Aber das erscheint mir jetzt nicht sehr praktisch, schließlich muss ich dass alle 1.,2.,3.,4. ableitungen bestimmen.
Wie könnte ich es sonst machen? Eine idee wäre doch, die reihen von sin und cos zu verwenden. Dann hätte ich da stehen:
[mm] \bruch{24x-4x^{3}}{24-12y^{2}+y^{4}} +o(||h^{4}||)
[/mm]
Stimmt das denn so?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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Deine Idee, die Taylorreihen von sin und cos zu nehmen, ist sicherlich nicht schlecht, allerdings stören da zwei Dinge:
Erstens sind deine Entwicklungen falsch, z.B. gilt sin(x)=x-1/3x³+.... Das erkennt man schon am ersten term: Nach deiner Entwicklung hat der Sin für x=0 eine Steigung von 24, das kann nicht sein...
Zweitens steht da jetzt ja kein Polynom, sondern eine gebrochenrationale Funktion.
Du hast aber eine dritte Funktion 1/z, in die der cos eingesetzt wird. Also: Entwickle 1/z, setze die Entwicklung des Cos dort ein, und multipliziere das dann noch mit der Entwicklung des sin.
Bedenke: Der Cos liefert für [mm] $y\approx [/mm] 0$ werte um 1, demnach mußt du 1/x um 1 entwickeln, nicht um 0!
Nebenbei:
[mm] $\bruch{1}{1-z}=1+z+z^2+z^3+z^4+...$ [/mm] um z=0 habe ich grade in einem Buch gefunden.
das hieße dann
[mm] $\bruch{1}{1+z}=1-z+z^2-z^3+z^4+...$
[/mm]
$z=cos(y)-1$
[mm] $\cos(y)=1-\bruch{1}{2!}y^2+\bruch{1}{4!}y^4-...$
[/mm]
[mm] $z=-\bruch{1}{2!}y^2+\bruch{1}{4!}y^4-...$
[/mm]
also
[mm] $\bruch{1}{\cos y}=1-\left(-\bruch{1}{2!}y^2+\bruch{1}{4!}y^4 \right)+\left(-\bruch{1}{2!}y^2+\bruch{1}{4!}y^4 \right)^2-\left(-\bruch{1}{2!}y^2+\bruch{1}{4!}y^4 \right)^3+...$
[/mm]
Etwas ausXen, und das ist ein schönes Polynom. Ist ja nichts großes, der vierte Term geht über die 4. Ordnung hinweg, und aus dem dritten bleibt auch nur [mm] $\left(-\bruch{1}{2!}y^2\right)^2$ [/mm] stehen.
Multipliziert mit [mm] $\sin(x)=x-\bruch{x^3}{3!}+...$ [/mm] ist das jedenfalls deine Taylorreihe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:53 Di 18.07.2006 | | Autor: | papillon |
Stimmt! Da hab ich mich wohl verrechnet. Aber das leuchtet ein, ist ja eigentlich klar mit dem 1/x, dass ich das übersehen hab...
Aber vielen Dank, das hat mir echt weitergeholfen!!!
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