Taylorpolynom und Fehler < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion [mm] f: \IR^2 \to \IR [/mm] durch
[mm] f(x,y) = x^3 ln(xy) [/mm], [mm]x > 0, y > 0 [/mm].
a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom 2. Grades [mm]T_2(x,y)[/mm] um den Entwicklungspunkt (1,1).
b) Schätzen Sie den Fehler von [mm]T_2(x,y)[/mm] an der Stelle (1,0.9) nach oben ab. |
Den Aufgabenteil a) habe ich bereits ohne große Probleme gelöst. Das Ergebnis lautet:
[mm]T_2(x,y) = 3-7x-y+\bruch{5}{2}x^2+3xy-\bruch{1}{2}y^2 [/mm]
Bei Aufgabenteil b) komm ich irgendwie nicht weiter. Zunächst mal bin ich mir nicht sicher, was "nach oben abschätzen" bedeutet. Wahrscheinlich den maximalen Fehler berechnen, oder?
Die Musterlösung sagt folgendes:
[mm]R_3(1,0.9)=\bruch{1}{3!} * (h \bruch{\partial}{\partial x} + k \bruch{\partial}{\partial y})^3 * f_{(1,1)+\lambda (h,k)}[/mm], [mm] \lambda \in (0,1)[/mm], [mm](h,k) = (0,-0.1)[/mm]
Also:
[mm]R_3(1,0.9)=\bruch{1}{6}*(-0.1)^3*\bruch{\partial ^3 f}{\partial y^3}|(1,1-\lambda*0.1) [/mm], wobei [mm] f_{yyy}= 2\bruch{x^3}{y^3} [/mm].
Letzter Schritt:
[mm]|R_3(1,0.9)| \le \bruch{1}{6}*(10)^{-3} * max_{\lambda \in [0,1]} * \bruch{2}{(1-\lambda*0.1)^3} \le [\lambda=1] \le \bruch{1}{3*9^3} \approx 0.4573*10^{-3} [/mm]
Die letzten 3 Schritte versteh ich (abgesehen von [mm]f_{yyy}=...[/mm]) überhaupt nicht. Vor allem, die Werte (h,k) = (0,-0.1) mit denen hantiert wird.
Wenn ich das Restglied bilde, indem ich das Taylorpolynom von der Funktion abziehe und (1,0.9) einsetze kommt was ganz anderes raus!
Ich bitte darum die Schritte der Musterlösung so eindeutig wie möglich zu erklären!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt und bedanke mich für Eure Hilfe!!!
Andy
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 So 01.10.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
