www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Taylorpolynom mehrdimensional
Taylorpolynom mehrdimensional < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Taylorpolynom mehrdimensional: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:02 Mi 04.07.2012
Autor: Masseltof

Aufgabe
Bestimmen Sie das lineare Taylorpolynom in den Variablen x, y der Funktion

f: [mm] \IR^{2} \to \IR, f(x,y)=e^{\frac{x}{2+y}} [/mm] im Punkt (0,0)

Hallo.

Obige Aufgabe soll gelöst werden.
Mein Ansatz bezieht sich auf eine Formel aus unserem Skript.

[mm] f({\bf x})=f({\bf\hat{x}})+\nabla {\bf \hat{x}} \cdot ({\bf x}-{\bf x}) [/mm]

Rechnung:
[mm] \nabla f({\bf x})=\vektor{\frac{1}{2+y}\cdot e^{\frac{x}{2+y}}\\ -\frac{x}{(2+y)^{2}}\cdot e^{\frac{x}{2+y}}} [/mm]

[mm] f(0,0)=\vektor{\frac{1}{2}\\0} [/mm]

Für die oben gegeben Formel folgt daraus:

[mm] f({\bf x})=1 [/mm] + [mm] \vektor{\frac{1}{2}\\0}\cdot (\vektor{x\\y}-\vektor{0\\0})=1+\frac{1}{2} [/mm] x

Ist die Lösung so richtig?
Nach der E-Platform soll eine Gleichung mit folgendem Muster drankommen:
[mm] f({\bf x})=a [/mm] + bx + cy + dxy

Wobei a , b , c ,d einzusetzen sind und nach meiner Rechnung:
a=1
[mm] b=\frac{1}{2} [/mm]
c=0
d=0

Über eine Kontrolle würde ich mich freuen.

Grüße

        
Bezug
Taylorpolynom mehrdimensional: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:18 Mi 04.07.2012
Autor: Adamantin


> Bestimmen Sie das lineare Taylorpolynom in den Variablen x,
> y der Funktion
>  
> f: [mm]\IR^{2} \to \IR, f(x,y)=e^{\frac{x}{2+y}}[/mm] im Punkt
> (0,0)
>  Hallo.
>
> Obige Aufgabe soll gelöst werden.
>  Mein Ansatz bezieht sich auf eine Formel aus unserem
> Skript.
>  
> [mm]f({\bf x})=f({\bf\hat{x}})+\nabla {\bf \hat{x}} \cdot ({\bf x}-{\bf x})[/mm]

Das ist eine sog. Tagentialebene, also die erste lineare Approximation und streng genommen noch kein Taylorpolynom, sondern gerade mal das Taylorpolynom ersten Grades. Aber wenn du diese Formel benutzten sollst, ist alles korrekt.

>  
> Rechnung:
>  [mm]\nabla f({\bf x})=\vektor{\frac{1}{2+y}\cdot e^{\frac{x} >{2+y}}\\ -\frac{x}{(2+y)^{2}}\cdot e^{\frac{x}{2+y}}}[/mm]

Diesen Gradienten erhalte ich auch

>  
> [mm]f(0,0)=\vektor{\frac{1}{2}\\0}[/mm]
>  

Hier fehlt [mm] $\nabla$. [/mm] Sonst korrekt.

> Für die oben gegeben Formel folgt daraus:
>  
> [mm]f({\bf x})=1[/mm] + [mm]\vektor{\frac{1}{2}\\0}\cdot (\vektor{x\\y}-\vektor{0\\0})=1+\frac{1}{2}[/mm] > x


> Ist die Lösung so richtig?

Sieht gut aus, ja.

>  Nach der E-Platform soll eine Gleichung mit folgendem
> Muster drankommen:
>  [mm]f({\bf x})=a[/mm] + bx + cy + dxy

Wei0 nicht genau, was das sein soll, zumal du wohl f(x,y) meinst. Eine Ebenengleichung hat immer die Form: ax+by+cz=d. Betrachten wir f(x,y) als z, so hast du mit deiner Lösung eine Ebenengleichung:
[mm] $f(x,y)=1+\bruch{1}{2}x \Rightarrow -\bruch{1}{2}x+z=1$ [/mm]

>  
> Wobei a , b , c ,d einzusetzen sind und nach meiner
> Rechnung:
>  a=1
>  [mm]b=\frac{1}{2}[/mm]
>  c=0
>  d=0
>
> Über eine Kontrolle würde ich mich freuen.
>  
> Grüße


Bezug
                
Bezug
Taylorpolynom mehrdimensional: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:25 Mi 04.07.2012
Autor: Masseltof

Hallo.

Danke für die Kontrolle.
Ich meinte f(x,y) und dachte, dass ich es ebenso als [mm] f({\bf x}) [/mm] ausdrücken kann wegen [mm] {\bf x}=\vektor{x\\y}^{T}=(x,y) [/mm]

Grüße

Bezug
                        
Bezug
Taylorpolynom mehrdimensional: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:28 Mi 04.07.2012
Autor: Adamantin

Ah wahr wohl zu spät, das Fettgedruckte als Vektor ist ok, natürlich geht das, wenn du damit einen Vektor meinst ;) Kein Thema, dann war alles korrekt. Irritiert nur, wenn man zuerst mit f(x,y) arbeitet ;)

EDIT: Das hatte ich dir gar nicht angekreidet, dazu habe ich auch nichts gesagt, es fehlte nur bei f(0,0) das Nabla davor ;)

Bezug
                                
Bezug
Taylorpolynom mehrdimensional: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:34 Mi 04.07.2012
Autor: Masseltof

Hallo.

Nochmals danke für die Antwort :)
Ich hoffe nicht, dass meine Aussagen oder Antworten negativ rüberkommen.
Die Hilfe hier ist einfach super und verständlich erklärt. Sobald ich intensiver mit Mathe beschäftigen kann und mir sicher bin, dass meine Antworten dann auch anderen helfen, nehme ich mir vor auch mitzuhelfen. Bis dahin, stelle ich aber erstmal Fragen und lese mit^^.

Grüße

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]