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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Taylorpolynom bis Grad 2

Taylorpolynom bis Grad 2 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe

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Taylorpolynom bis Grad 2: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	02:01 Mi 25.07.2012
Autor:	lzaman

Aufgabe

 Taylorpolynom der Funktion [mm] f(x,y,z)=xz^2+y\cdot ln(x^2+1) [/mm] vom Grad 2 zum Entwicklungspunkt [mm] (x_0,y_0,z_0)=(1,2,3) [/mm] bestimmen. 

Hallo, ich bitte einmal um Überprüfung meiner Werte (bin mir doch bei den ganzen Ableitungen unsicher):

[mm] f_x=z^2+\dfrac{2xy}{x^2+1} [/mm] , [mm] f_y=ln(x^2+1) [/mm] , [mm] f_z=2xz [/mm]

[mm] f_{xx}=-\dfrac{2x(x^2-1)}{(x^2+1)^2} [/mm] , [mm] f_{xy}=\dfrac{2x}{x^2+1} [/mm] , [mm] f_{xz}=0 [/mm]

[mm] f_{yy}=0 [/mm] , [mm] f_{yz}=0 [/mm] , f{zz}=2x

Werte die ich dann erhalte:

[mm] f(1,2,3)=9+2\cdot [/mm] ln(2)

[mm] f_x(1,2,3)=10 [/mm] , [mm] f_y(1,2,3)=ln(2) [/mm] , [mm] f_z(1,2,3)=18 [/mm]

[mm] f_{xx}=0 [/mm] , [mm] f_{xy}=1 [/mm] , [mm] f_{xz}=0 [/mm]

[mm] f_{yy}=0 [/mm] , [mm] f_{yz}=0 [/mm] , [mm] f_{zz}=2 [/mm]

Damit lautet mein Taylorpolynom (ohne Restglied)

[mm] T_2=9+2\cdot ln(2)+10(x-1)+ln(2)(y-2)+18(z-3)+(x-1)(x-2)+(z-3)^2 [/mm]

Achso Terme müssen laut Aufgabestellung nicht ausmultipliziert werden.

Danke fürs Prüfen

Bezug

Taylorpolynom bis Grad 2: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	02:56 Mi 25.07.2012
Autor:	MathePower

Hallo Izaman,

> Taylorpolynom der Funktion [mm]f(x,y,z)=xz^2+y\cdot ln(x^2+1)[/mm]
> vom Grad 2 zum Entwicklungspunkt [mm](x_0,y_0,z_0)=(1,2,3)[/mm]
> bestimmen.
>
>
>
>
>
> Hallo, ich bitte einmal um Überprüfung meiner Werte (bin
> mir doch bei den ganzen Ableitungen unsicher):
>
> [mm]f_x=z^2+\dfrac{2xy}{x^2+1}[/mm] , [mm]f_y=ln(x^2+1)[/mm] , [mm]f_z=2xz[/mm]
>
> [mm]f_{xx}=-\dfrac{2x(x^2-1)}{(x^2+1)^2}[/mm] ,

Hier muss es doch lauten:

[mm]f_{xx}=-\dfrac{2\blue{y}(x^2-1)}{(x^2+1)^2}[/mm]

> [mm]f_{xy}=\dfrac{2x}{x^2+1}[/mm] , [mm]f_{xz}=0[/mm]
>
> [mm]f_{yy}=0[/mm] , [mm]f_{yz}=0[/mm] , f{zz}=2x
>
> Werte die ich dann erhalte:
>
> [mm]f(1,2,3)=9+2\cdot[/mm] ln(2)
>
> [mm]f_x(1,2,3)=10[/mm] , [mm]f_y(1,2,3)=ln(2)[/mm] , [mm]f_z(1,2,3)=18[/mm]
>
> [mm]f_{xx}=0[/mm] , [mm]f_{xy}=1[/mm] , [mm]f_{xz}=0[/mm]
>
> [mm]f_{yy}=0[/mm] , [mm]f_{yz}=0[/mm] , [mm]f_{zz}=2[/mm]
>

Hier stimmen die Werte für [mm]f_{x}, \ f_{xz}[/mm] nicht.

> Damit lautet mein Taylorpolynom  (ohne Restglied)
>
> [mm]T_2=9+2\cdot ln(2)+10(x-1)+ln(2)(y-2)+18(z-3)+(x-1)(x-2)+(z-3)^2[/mm]
>
> Achso Terme müssen laut Aufgabestellung nicht
> ausmultipliziert werden.
>
> Danke fürs Prüfen
>

Gruss
MathePower