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| Aufgabe | Berechnen Sie das Taylorpolynom dritten Grades der Funktion
[mm] f:\,\mathbb{R}\to\mathbb{R}\,,\qquad f(x)\,=\,2\,\sin{(x)}\,+\,\frac{1}{2}\,\sin{(2x)}
[/mm]
um [mm] a=0\,. [/mm] |
Hallo.
Zunächst habe ich die Ableitungen von f gebildet (bis zur. 3 Ableitung hin).
Damit ich nicht falsch weiterrechne, hoffe ich mal, dass ihr einen Blick drüberwerfen könntet, um mögliche Fehler zu entedecken :).
[mm] f(x)=2sin(x)+\bruch{1}{2}*sin(2x)
[/mm]
Ableitungen immer mit Kettenregel:
f'(x)=2cos(x)+cos(2x)
f''(x)=-2sin(x)-2sin(2x)
f'''(x)=-2cos(x)-4cos(2x)
Ich würde mich über Hilfe sehr freuen.
Danke im Voraus.
Ps: Der nächste Schritt wäre dann doch den Entwicklungspunkt a=0 in die Ableitungen zu setzen und mit der Formel für das Taylorpolynom weiterzurechnen, oder irre mich?
Viele Grüße
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Hallo Masseltof,
> Berechnen Sie das Taylorpolynom dritten Grades der
> Funktion
>
> [mm]f:\,\mathbb{R}\to\mathbb{R}\,,\qquad f(x)\,=\,2\,\sin{(x)}\,+\,\frac{1}{2}\,\sin{(2x)}[/mm]
>
> um [mm]a=0\,.[/mm]
> Hallo.
>
> Zunächst habe ich die Ableitungen von f gebildet (bis zur.
> 3 Ableitung hin).
> Damit ich nicht falsch weiterrechne, hoffe ich mal, dass
> ihr einen Blick drüberwerfen könntet, um mögliche Fehler
> zu entedecken :).
>
> [mm]f(x)=2sin(x)+\bruch{1}{2}*sin(2x)[/mm]
>
> Ableitungen immer mit Kettenregel:
>
> f'(x)=2cos(x)+cos(2x)
> f''(x)=-2sin(x)-2sin(2x)
> f'''(x)=-2cos(x)-4cos(2x)
Alles richtig.
>
> Ich würde mich über Hilfe sehr freuen.
> Danke im Voraus.
>
> Ps: Der nächste Schritt wäre dann doch den
> Entwicklungspunkt a=0 in die Ableitungen zu setzen und mit
> der Formel für das Taylorpolynom weiterzurechnen, oder
> irre mich?
Nein , Du irrst nicht.
>
> Viele Grüße
Gruss
MathePower
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Hallo.
Dann ist hier der Schritt für die Berechnung des Polynomys:
Polynomformel um a=0:
[mm] T_{3,0}(x)=\bruch{f(0)}{0!}*(x-0)^0+\bruch{f‘{0}}{1!}*(x-0)^1+\bruch{f''(0)}{2!}*(x-0)^2+\bruch{f'''(0)}{3!}*(x-0)^3
[/mm]
f(0)=0
f'(0)=2+1=3
f''(0)=0
f'''(0)=-2-4=-6
[mm] \RIghtarrow
[/mm]
[mm] T_{3,0}(x)=0+\bruch{3}{1}*x+0+\bruch{-6}{3*2*1}*x^3
[/mm]
[mm] T_{3,0}(x)=3x-x^3
[/mm]
Ist das so richtig?
Viele Grüße und danke im Vorraus.
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Hallo Masseltof,
> Hallo.
>
> Dann ist hier der Schritt für die Berechnung des
> Polynomys:
>
> Polynomformel um a=0:
>
> [mm]T_{3,0}(x)=\bruch{f(0)}{0!}*(x-0)^0+\bruch{f‘{0}}{1!}*(x-0)^1+\bruch{f''(0)}{2!}*(x-0)^2+\bruch{f'''(0)}{3!}*(x-0)^3[/mm]
>
> f(0)=0
> f'(0)=2+1=3
> f''(0)=0
> f'''(0)=-2-4=-6
>
> [mm]\RIghtarrow[/mm]
>
> [mm]T_{3,0}(x)=0+\bruch{3}{1}*x+0+\bruch{-6}{3*2*1}*x^3[/mm]
> [mm]T_{3,0}(x)=3x-x^3[/mm]
>
> Ist das so richtig?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Viele Grüße und danke im Vorraus.
Gruss
MathePower
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Hi,
schau mal, wie gut die Approximation der Funktion durch dein TP in der Nähe von 0 ist. Mit dem bloßen Auge sehr gut ![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]") 
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
schachuzipus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:52 Mo 20.12.2010 | | Autor: | Masseltof |
Hallo und danke für die Grafik.
Diese Approximierung bildlich zu sehen ist wirklich toll!
Ich hätte nicht gedacht, dass diese Annäherung so gut funktioniert.
Viele Grüße und danke für die Gestaltung des Graphens.
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Hi nochmal und danke für die Rückmeldung.
Das kannst du jederzeit selbst machen mit dem wunderbaren kostenlosen Programm "Funkyplot", das es unter folgender url gibt:
www.funkyplot.de
Viel Spaß weiterhin
Gruß
schachuzipus
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