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Taylorpolynom 2. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:23 Di 22.05.2012
Autor: Gnocchi

Aufgabe
Sei f : [mm] \IR² \to \IR, f(x_1,x_2) [/mm] := [mm] e^{x_1x_2} [/mm]
Berechnen Sie das Taylorpolynom 2. Ordnung um [mm] x_0 [/mm] :=(0,1) für f

Wir haben ausm Tutorium folgende Formel zur Aufstellung bekommen:

[mm] f(x_0) [/mm] + <grad [mm] f(x_0),\gamma>+ \bruch{1}{2}+ ||\gamma||^{2}_2r_2(\gamma) [/mm]

Nun weiß ich leider schon nicht so wirklich weiter. Bestimme ich nun [mm] gradf(x_0) [/mm] indem ich jeweils nach den Variablen ableite und bastel mir daraus meine Hesse-Matrix damit ich dann das Polynom berechnen kann?
Und:Was genau bedeutet "2.Ordnung" das habe ich bis jetzt nicht rausgefunden.

        
Bezug
Taylorpolynom 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:45 Di 22.05.2012
Autor: MathePower

Hallo Gnocchi,

> Sei f : [mm]\IR² \to \IR, f(x_1,x_2)[/mm] := [mm]e^{x_1x_2}[/mm]
>  Berechnen Sie das Taylorpolynom 2. Ordnung um [mm]x_0[/mm] :=(0,1)
> für f
>  Wir haben ausm Tutorium folgende Formel zur Aufstellung
> bekommen:
>  
> [mm]f(x_0)[/mm] + <grad [mm]f(x_0),\gamma>+ \bruch{1}{2}+ ||\gamma||^{2}_2r_2(\gamma)[/mm]
>  
> Nun weiß ich leider schon nicht so wirklich weiter.
> Bestimme ich nun [mm]gradf(x_0)[/mm] indem ich jeweils nach den
> Variablen ableite und bastel mir daraus meine Hesse-Matrix
> damit ich dann das Polynom berechnen kann?


Ja.


>  Und:Was genau bedeutet "2.Ordnung" das habe ich bis jetzt
> nicht rausgefunden.


Die Summe der Potenzen von [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm]
darf höchstens 2 betragen.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Taylorpolynom 2. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:14 Di 22.05.2012
Autor: Gnocchi

Gut. Also wenn nichts schief gegangen ist, müsste da nun rauskommen:
grad [mm] f(x)=(x_2*e^{x_1x_2},x_1*e^{x_1x_2}) [/mm]
Für [mm] Hess_f(x) [/mm] müsste sich dann ergeben:
[mm] \pmat{ e^{x_1x_2}*x_2² & e^{x_1x_2}*x_1x_2+e^{x_1x_2} \\ e^{x_1x_2}*x_1x_2+e^{x_1x_2} & e^{x_1x_2}*x_1² } [/mm]
Dürfte passen, da die Matrix symmetrisch zur Diagonalen ist.
Das setz ich nun in die Formel ein und rechne dann aus oder reicht es schon das einzusetzen? [mm] \gamma [/mm] müsste ich in dem Fall nicht bestimmen, oder? Sondern einfach als [mm] \vektor{\gamma_1 \\ \gamma_2}schreiben?! [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Taylorpolynom 2. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:18 Mi 23.05.2012
Autor: Gnocchi

Also ich hätte als Ergebnis, dass das Taylorpolynom ist:
[mm] e^{0*1}+<(x_2*e^{x_1x_2},x_1*e^{x_1x_2}),\gamma>+\bruch{1}{2} <\pmat{ e^{x_1x_2}*x_2² & e^{x_1x_2}*x_1x_2+e^{x_1x_2} \\ e^{x_1x_2}*x_1x_2+e^{x_1x_2} & e^{x_1x_2}*x_1² }\gamma,\gamma> +||\gamma||_2^{2}r_2(\gamma) [/mm]

Muss das jetzt noch weiter ausgerechnet werden oder reicht dies als Ergebnis?


Bezug
                                
Bezug
Taylorpolynom 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:18 Mi 23.05.2012
Autor: meili

Hallo,
> Also ich hätte als Ergebnis, dass das Taylorpolynom ist:
>  
> [mm]e^{0*1}+<(x_2*e^{x_1x_2},x_1*e^{x_1x_2}),\gamma>+\bruch{1}{2} <\pmat{ e^{x_1x_2}*x_2² & e^{x_1x_2}*x_1x_2+e^{x_1x_2} \\ e^{x_1x_2}*x_1x_2+e^{x_1x_2} & e^{x_1x_2}*x_1² }\gamma,\gamma> +||\gamma||_2^{2}r_2(\gamma)[/mm]
>  
> Muss das jetzt noch weiter ausgerechnet werden oder reicht
> dies als Ergebnis?

Ja noch weiter rechnen bis zu einem Polynom [mm] $p(x_1,x_2)$ [/mm] 2. Grades.
[mm] $||\gamma||_2^{2}r_2(\gamma)$ [/mm] soll wohl das Restglied sein.

>  

Gruß
meili

Bezug
                        
Bezug
Taylorpolynom 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:11 Mi 23.05.2012
Autor: meili

Hallo,

> Gut. Also wenn nichts schief gegangen ist, müsste da nun
> rauskommen:
>  grad [mm]f(x)=(x_2*e^{x_1x_2},x_1*e^{x_1x_2})[/mm]

[ok]

>  Für [mm]Hess_f(x)[/mm] müsste sich dann ergeben:
>  [mm]\pmat{ e^{x_1x_2}*x_2² & e^{x_1x_2}*x_1x_2+e^{x_1x_2} \\ e^{x_1x_2}*x_1x_2+e^{x_1x_2} & e^{x_1x_2}*x_1² }[/mm]

[ok]
Aber für das Taylorpolynom 2. Ordnung brauchst Du
grad [mm]f(x_0)[/mm] und [mm]Hess_f(x_0)[/mm].
Also noch [mm] $x_0 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1}$ [/mm] einsetzen.

>  
> Dürfte passen, da die Matrix symmetrisch zur Diagonalen
> ist.
>  Das setz ich nun in die Formel ein und rechne dann aus
> oder reicht es schon das einzusetzen? [mm]\gamma[/mm] müsste ich in
> dem Fall nicht bestimmen, oder? Sondern einfach als
> [mm]\vektor{\gamma_1 \\ \gamma_2}schreiben?![/mm]  

Für [mm]\vektor{\gamma_1 \\ \gamma_2}[/mm]  hast Du auch Werte:
[mm] $\gamma [/mm] = x - [mm] x_0 [/mm] = [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 - 1}$. [/mm]

Gruß
meili

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