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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:06 Sa 09.06.2012 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Taylor-Polynom
[mm] $T_k^a(f)(h)=\sum_{|\alpha|\leqslant k} \frac{\partial^\alpha f(a)}{\alpha !} h^\alpha$ [/mm]
für $k=2$ und [mm] $a=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ [/mm] und die Abbildung
[mm] $f\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2, \quad f\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sin(x) + z\\x+y+\mathrm{e}^z\end{pmatrix}.$ [/mm] |
Und noch eine Frage heute, leider: Ich habe bis jetzt selbst in einer Dimension, wenn überhaupt, nur mal ein Taylor-Polynom selbstständig berechnet, und mit Multi-Indizes stehe ich auch etwas auf Kriegsfuß, deswegen wäre es echt super, wenn jemand von euch sich mal meine Lösung angucken könnte (ich glaube übrigens, sie ist falsch), und mir dabei helfen könnte sie zu verbessern. Ich hoffe ich habe mich bei dem Ganzen nur verrechnet, und nicht grundsätzlich etwas falsch gemacht, aber ich komme beispielsweise, wenn ich den Entwicklungspunkt einsetze, bei Funktion und Taylorpolynom auf verschiedene Werte, und das kann ja nicht sein, oder?
Also, meine Lösung:
Ich habe mir zuerst gedacht, ich schreibe einfach mal alle Multi-Indizes auf, die die Bedingung [mm] $|\alpha|\leqslant [/mm] 2$ erfüllen, also:
(0,0,0)
(1,0,0)
(0,1,0)
(0,0,1)
(1,1,0)
(1,0,1)
(0,1,1)
(2,0,0)
(0,2,0)
(0,0,2)
Ich hoffe mal, das waren schon alle.
Dann habe ich die entsprechenden partiellen Ableitungen und Fakultäten berechnet (diff'bar ist das Ganze natürlich):
(1,0,0): [mm] $\partial_1 f\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos(x)\\1\end{pmatrix}, \qquad\qquad \alpha!=1!\cdot [/mm] 0! [mm] \cdot [/mm] 0!=1$
.
.
.
(0,0,2): [mm] $\partial_3^2 f\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\mathrm{e}^z\end{pmatrix}, \qquad\qquad \alpha!=0!\cdot [/mm] 0! [mm] \cdot [/mm] 2!=2$
Dann folgt also mit [mm] $a=(1,0,0)^t$: [/mm]
[mm] $T_2^a \begin{pmatrix}\sin(x) + z\\x+y+\mathrm{e}^z\end{pmatrix}=$
[/mm]
[mm] $=\sum_{|\alpha|\leqslant 2} \frac{\partial^\alpha f(a)}{\alpha!}h^\alpha=\begin{pmatrix}\sin(1) \\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\cos(1) \\1\end{pmatrix}\cdot h_1+\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix}\cdot h_2 [/mm] + [mm] \begin{pmatrix}1 \\1\end{pmatrix}\cdot h_3 [/mm] + [mm] \begin{pmatrix}0 \\0\end{pmatrix}\cdot h_1h_2 [/mm] + [mm] \begin{pmatrix}0 \\0\end{pmatrix}\cdot h_2h_3+$
[/mm]
[mm] $+\begin{pmatrix}-\sin(1) \\0\end{pmatrix}\cdot \frac{h_1^2}{2}+\begin{pmatrix}0 \\0\end{pmatrix}\cdot \frac{h_2^2}{2}+\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix}\cdot \frac{h_3^2}{2}=\begin{pmatrix}\sin(1)+h_1\cos(1)+h_3-\frac{h_1^2}{2}\sin(1) \\2+h_1+h_2+h_3+\frac{h_3^2}{2}\end{pmatrix}$ [/mm]
Habe ich hier grundsätzlich was falsch gemacht, oder mich verrechnet, oder ist das so doch richtig? Wenn ich nicht grundsätzlich was falsch gemacht habe, kann ich auch noch gerne alle meine Ableitungen hier posten, aber ohne diese Gewissheit wollte ich mir das jetzt (erst mal) ersparen. 
Ich bin, wie immer, dankbar für jede Hilfe!
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Hallo Lustique,
> Berechnen Sie das Taylor-Polynom
>
> [mm]T_k^a(f)(h)=\sum_{|\alpha|\leqslant k} \frac{\partial^\alpha f(a)}{\alpha !} h^\alpha[/mm]
>
> für [mm]k=2[/mm] und [mm]a=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}[/mm] und die
> Abbildung
>
> [mm]f\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2, \quad f\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sin(x) + z\\x+y+\mathrm{e}^z\end{pmatrix}.[/mm]
>
> Und noch eine Frage heute, leider: Ich habe bis jetzt
> selbst in einer Dimension, wenn überhaupt, nur mal ein
> Taylor-Polynom selbstständig berechnet, und mit
> Multi-Indizes stehe ich auch etwas auf Kriegsfuß, deswegen
> wäre es echt super, wenn jemand von euch sich mal meine
> Lösung angucken könnte (ich glaube übrigens, sie ist
> falsch), und mir dabei helfen könnte sie zu verbessern.
> Ich hoffe ich habe mich bei dem Ganzen nur verrechnet, und
> nicht grundsätzlich etwas falsch gemacht, aber ich komme
> beispielsweise, wenn ich den Entwicklungspunkt einsetze,
> bei Funktion und Taylorpolynom auf verschiedene Werte, und
> das kann ja nicht sein, oder?
>
> Also, meine Lösung:
>
> Ich habe mir zuerst gedacht, ich schreibe einfach mal alle
> Multi-Indizes auf, die die Bedingung [mm]|\alpha|\leqslant 2[/mm]
> erfüllen, also:
>
> (0,0,0)
> (1,0,0)
> (0,1,0)
> (0,0,1)
> (1,1,0)
> (1,0,1)
> (0,1,1)
> (2,0,0)
> (0,2,0)
> (0,0,2)
>
> Ich hoffe mal, das waren schon alle.
> Dann habe ich die entsprechenden partiellen Ableitungen und
> Fakultäten berechnet (diff'bar ist das Ganze natürlich):
>
> (1,0,0): [mm]\partial_1 f\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos(x)\\1\end{pmatrix}, \qquad\qquad \alpha!=1!\cdot 0! \cdot 0!=1[/mm]
>
> .
> .
> .
>
> (0,0,2): [mm]\partial_3^2 f\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\mathrm{e}^z\end{pmatrix}, \qquad\qquad \alpha!=0!\cdot 0! \cdot 2!=2[/mm]
>
> Dann folgt also mit [mm]a=(1,0,0)^t[/mm]:
>
> [mm]T_2^a \begin{pmatrix}\sin(x) + z\\x+y+\mathrm{e}^z\end{pmatrix}=[/mm]
>
> [mm]=\sum_{|\alpha|\leqslant 2} \frac{\partial^\alpha f(a)}{\alpha!}h^\alpha=\begin{pmatrix}\sin(1) \\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\cos(1) \\1\end{pmatrix}\cdot h_1+\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix}\cdot h_2 + \begin{pmatrix}1 \\1\end{pmatrix}\cdot h_3 + \begin{pmatrix}0 \\0\end{pmatrix}\cdot h_1h_2 + \begin{pmatrix}0 \\0\end{pmatrix}\cdot h_2h_3+[/mm]
>
> [mm]+\begin{pmatrix}-\sin(1) \\0\end{pmatrix}\cdot \frac{h_1^2}{2}+\begin{pmatrix}0 \\0\end{pmatrix}\cdot \frac{h_2^2}{2}+\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix}\cdot \frac{h_3^2}{2}=\begin{pmatrix}\sin(1)+h_1\cos(1)+h_3-\frac{h_1^2}{2}\sin(1) \\2+h_1+h_2+h_3+\frac{h_3^2}{2}\end{pmatrix}[/mm]
>
Es fehlt hier der Summand mit [mm]h_{1}h_{3}[/mm]
Trotz des Fehlens dieses Summanden schaut es gut aus.
> Habe ich hier grundsätzlich was falsch gemacht, oder mich
> verrechnet, oder ist das so doch richtig? Wenn ich nicht
> grundsätzlich was falsch gemacht habe, kann ich auch noch
> gerne alle meine Ableitungen hier posten, aber ohne diese
> Gewissheit wollte ich mir das jetzt (erst mal) ersparen.
>
>
> Ich bin, wie immer, dankbar für jede Hilfe!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 So 10.06.2012 | | Autor: | Lustique |
Hallo MathePower,
danke, dass du dir meine Lösung angeguckt hast!
> Es fehlt hier der Summand mit [mm]h_{1}h_{3}[/mm]
>
> Trotz des Fehlens dieses Summanden schaut es gut aus.
Du hast Recht, den Teil habe ich vergessen, allerdings nur hier bei dieser Frage (in meiner handschriftlichen Lösung habe ich es nicht vergessen). Das Ganze sieht so richtig (?) aus:
[mm]T_2^a \begin{pmatrix}\sin(x) + z\\x+y+\mathrm{e}^z\end{pmatrix}{\color{red}(h)}=[/mm]
[mm]=\sum_{|\alpha|\leqslant 2} \frac{\partial^\alpha f(a)}{\alpha!}h^\alpha=\begin{pmatrix}\sin(1) \\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\cos(1) \\1\end{pmatrix}\cdot h_1+\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix}\cdot h_2 + \begin{pmatrix}1 \\1\end{pmatrix}\cdot h_3 + \begin{pmatrix}0 \\0\end{pmatrix}\cdot h_1h_2 + {\color{red}\begin{pmatrix}0 \\0\end{pmatrix}\cdot h_1h_3} + \begin{pmatrix}0 \\0\end{pmatrix}\cdot h_2h_3+[/mm]
[mm]+\begin{pmatrix}-\sin(1) \\0\end{pmatrix}\cdot \frac{h_1^2}{2}+\begin{pmatrix}0 \\0\end{pmatrix}\cdot \frac{h_2^2}{2}+\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix}\cdot \frac{h_3^2}{2}=\begin{pmatrix}\sin(1)+h_1\cos(1)+h_3-\frac{h_1^2}{2}\sin(1) \\2+h_1+h_2+h_3+\frac{h_3^2}{2}\end{pmatrix}[/mm]
Es ändert sich also am Endergebnis nichts. Ich habe auch eben mal meine einzelnen partiellen Ableitungen mit WolframAlpha überprüft, und die scheinen alle richtig zu sein. Wenn ich mir jetzt allerdings mein Taylorpolynom für $h=a=(1,0,0)$ angucke, also für den Entwicklungspunkt, dann bekomme ich
[mm] $T_2^a \begin{pmatrix}\sin(x) + z\\x+y+\mathrm{e}^z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\sin(1)}{2}+\cos(1)\\3\end{pmatrix}$, [/mm] wobei aber [mm] $f\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sin(1)\\2\end{pmatrix}. [/mm] Müssten Funktion und Taylorpolynom nicht eigentlich zumindest für den Entwicklungspunkt gleich sein, oder bin ich da auf dem Holzweg?
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Hallo Lustique,
> Hallo MathePower,
>
> danke, dass du dir meine Lösung angeguckt hast!
>
> > Es fehlt hier der Summand mit [mm]h_{1}h_{3}[/mm]
> >
> > Trotz des Fehlens dieses Summanden schaut es gut aus.
>
> Du hast Recht, den Teil habe ich vergessen, allerdings nur
> hier bei dieser Frage (in meiner handschriftlichen Lösung
> habe ich es nicht vergessen). Das Ganze sieht so richtig
> (?) aus:
>
> [mm]T_2^a \begin{pmatrix}\sin(x) + z\\x+y+\mathrm{e}^z\end{pmatrix}{\color{red}(h)}=[/mm]
>
> [mm]=\sum_{|\alpha|\leqslant 2} \frac{\partial^\alpha f(a)}{\alpha!}h^\alpha=\begin{pmatrix}\sin(1) \\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\cos(1) \\1\end{pmatrix}\cdot h_1+\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix}\cdot h_2 + \begin{pmatrix}1 \\1\end{pmatrix}\cdot h_3 + \begin{pmatrix}0 \\0\end{pmatrix}\cdot h_1h_2 + {\color{red}\begin{pmatrix}0 \\0\end{pmatrix}\cdot h_1h_3} + \begin{pmatrix}0 \\0\end{pmatrix}\cdot h_2h_3+[/mm]
>
> [mm]+\begin{pmatrix}-\sin(1) \\0\end{pmatrix}\cdot \frac{h_1^2}{2}+\begin{pmatrix}0 \\0\end{pmatrix}\cdot \frac{h_2^2}{2}+\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix}\cdot \frac{h_3^2}{2}=\begin{pmatrix}\sin(1)+h_1\cos(1)+h_3-\frac{h_1^2}{2}\sin(1) \\2+h_1+h_2+h_3+\frac{h_3^2}{2}\end{pmatrix}[/mm]
>
> Es ändert sich also am Endergebnis nichts. Ich habe auch
> eben mal meine einzelnen partiellen Ableitungen mit
> WolframAlpha überprüft, und die scheinen alle richtig zu
> sein. Wenn ich mir jetzt allerdings mein Taylorpolynom für
> [mm]h=a=(1,0,0)[/mm] angucke, also für den Entwicklungspunkt, dann
> bekomme ich
>
> [mm]$T_2^a \begin{pmatrix}\sin(x) + z\\x+y+\mathrm{e}^z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\sin(1)}{2}+\cos(1)\\3\end{pmatrix}$,[/mm]
> wobei aber
> [mm]$f\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sin(1)\\2\end{pmatrix}.[/mm]
> Müssten Funktion und Taylorpolynom nicht eigentlich
> zumindest für den Entwicklungspunkt gleich sein, oder bin
> ich da auf dem Holzweg?
Nein, da bist Du nicht auf dem Holzweg.
Für den Entwicklungspunkt ist [mm]h_{1}=h_{2}=h_{3}=0[/mm].
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:01 So 17.06.2012 | | Autor: | Lustique |
> Nein, da bist Du nicht auf dem Holzweg.
>
> Für den Entwicklungspunkt ist [mm]h_{1}=h_{2}=h_{3}=0[/mm].
>
>
> Gruss
> MathePower
Danke nochmal! Ich habe nicht daran gedacht, dass es [mm] $f({\color{green}a}{\color{red}+h})=T^a_k(f)(h)+\dotsb$, [/mm] und nicht [mm] $f({\color{red}h})=T^a_k(f)(h)+\dotsb$ [/mm] heißt. :O
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