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Taylorpolynom: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:12 So 20.05.2012
Autor: Mathegirl

Aufgabe
Bestimme das Taylorpolynom zweiter Ordnung in [mm] (x_0;y_0)=(0,0) [/mm]

[mm] f:\IR^2 \to e^{x*y} [/mm]

Hier habe ich alle partiellen Ableitungen bis zur dritten Ordnung gebildet:

[mm] f_x=y*e^{xy} [/mm]
[mm] f_y=x*e^{xy} [/mm]
[mm] f_{xx}=y^2*e^{xy} [/mm]
[mm] f_{yy}=x^2*e^{xy} [/mm]
[mm] f_{xy}=(xy+1)e^{xy} [/mm]
[mm] f_{yx}=(xy+1)e^{xy} [/mm]
[mm] f_{xxx}=y^3*e^{xy} [/mm]
[mm] f_{yyy}=x^3*e^{xy} [/mm]
[mm] f_{xxy}=(xy+2)e^{xy} [/mm]
[mm] f_{yyx}=(xy+2)e^{xy} [/mm]

[mm] f(x+0,y+0)=f(0,0)+f_x(0,0)+f_y(0,0)y+f_{xx}(0,0)\bruch{x^2}{2}+f_{xy}(0,0)xy+f_{yy}(0,0)\bruch{y^2}{2}+R_3^\theta(x+0,y+0) [/mm]

= [mm] 1+e(xy)+R_3^\theta(x+0,y+0) [/mm]

Ist das soweit ok? Dann muss ich ja nur noch das Restglied berechnen oder?


MfG
Mathegirl

        
Bezug
Taylorpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:17 So 20.05.2012
Autor: fred97


> Bestimme das Taylorpolynom zweiter Ordnung in
> [mm](x_0;y_0)=(0,0)[/mm]
>  
> [mm]f:\IR^2 \to e^{x*y}[/mm]
>  Hier habe ich alle partiellen
> Ableitungen bis zur dritten Ordnung gebildet:
>  
> [mm]f_x=y*e^{xy}[/mm]
>  [mm]f_y=x*e^{xy}[/mm]
>  [mm]f_{xx}=y^2*e^{xy}[/mm]
>  [mm]f_{yy}=x^2*e^{xy}[/mm]
>  [mm]f_{xy}=(xy+1)e^{xy}[/mm]
>  [mm]f_{yx}=(xy+1)e^{xy}[/mm]
>  [mm]f_{xxx}=y^3*e^{xy}[/mm]
>  [mm]f_{yyy}=x^3*e^{xy}[/mm]
>  [mm]f_{xxy}=(xy+2)e^{xy}[/mm]
>  [mm]f_{yyx}=(xy+2)e^{xy}[/mm]
>  
> [mm]f(x+0,y+0)=f(0,0)+f_x(0,0)+f_y(0,0)y+f_{xx}(0,0)\bruch{x^2}{2}+f_{xy}(0,0)xy+f_{yy}(0,0)\bruch{y^2}{2}+R_3^\theta(x+0,y+0)[/mm]
>  
> = [mm]1+e(xy)+R_3^\theta(x+0,y+0)[/mm]

Bei [mm] f_x(0,0) [/mm] hat Du ein x verschlampert: [mm] f_x(0,0)*x [/mm]

>  
> Ist das soweit ok?


Keine Ahnung, solange Du nicht sagst, was e(xy) ist.

FRED


> Dann muss ich ja nur noch das Restglied
> berechnen oder?
>  
>
> MfG
>  Mathegirl


Bezug
                
Bezug
Taylorpolynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:24 So 20.05.2012
Autor: Mathegirl

Wie meinst du , was [mm] x\to e^{xy} [/mm] ist??


MfG
Mathegirl

Bezug
                        
Bezug
Taylorpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:28 So 20.05.2012
Autor: fred97

Du hast oben e(xy) geschrieben. Was bedeutet das ?

FRED

Bezug
                                
Bezug
Taylorpolynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:32 So 20.05.2012
Autor: Mathegirl

damit meine ich [mm] e^1(xy) [/mm]  stimmt die Abelitung so nicht?

MfG
Mathegirl

Bezug
                                        
Bezug
Taylorpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:35 So 20.05.2012
Autor: fred97


> damit meine ich [mm]e^1(xy)[/mm]

Und was bedeutet das ?

FRED
>

> stimmt die Abelitung so nicht?
>  
> MfG
>  Mathegirl


Bezug
                                                
Bezug
Taylorpolynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:37 So 20.05.2012
Autor: Mathegirl

Ich weiß nicht genau auf was du gerade hinaus willst....sorry..

MfG
Mathegirl

Bezug
                                                        
Bezug
Taylorpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:38 So 20.05.2012
Autor: fred97


> Ich weiß nicht genau auf was du gerade hinaus
> willst....sorry..

Was meinst Du mit $ [mm] e^1(xy) [/mm] $ ?

FRED

>  
> MfG
>  Mathegirl


Bezug
        
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Taylorpolynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:12 So 27.05.2012
Autor: it123

Ich habe im Königsberger eine direkte Formel zur Bestimmung des Taylorpolynoms 2. Ordnung in einem Entwicklungspunkt a gefunden und erhalte für obige Aufgabe nun:

[mm] T_2f((x_1,x_2),(0,0))=1+1/2(x_1^2+x_2^2). [/mm]

Ist dies das Taylorpolynom 2. Ordnung im Entwicklungspunkt (0,0)?

Bezug
                
Bezug
Taylorpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:05 So 27.05.2012
Autor: leduart

Hallo
Bevor du das eigenartige

= $ [mm] 1+e(xy)+R_3^\theta(x+0,y+0) [/mm] $
hingeschrieben hattest, stand da das richtige TP. du musstest nur noch (0,0) einsetzen.
Wenn in der aufgabe nichts von fehlerabschaetzung oder Restglied steht brauchst du das wohl nicht.
Gruss leduart


Bezug
                        
Bezug
Taylorpolynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:57 So 27.05.2012
Autor: it123

Ich habe dort folgende Formel gefunden:

[mm] T_2f(x,a)=f(a)+\summe_{i=1}^{n}\partial_if(a)(x_i-a_i)+1/2\summe_{i,j=1}^{n}\partial_{ij}f(a)(x_i-a_i)(x_j-a_j) [/mm]

Also setze ich ein:
[mm] T_2f((x_1,x_2),(0,0))=exp(0*0)+exp(0*0)*0(x_1-0)+exp(0*0)*0(x_2-0)+1/2(1(x_1-0)(x_2-0)+1(x_2-0)+1(x_2-0)(x_1-0))=1+1/2(x_1x_2+x_2x_1)=1+x_1x_2 [/mm]

Stimmt das jetzt?

Bezug
                                
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Taylorpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:21 So 27.05.2012
Autor: MathePower

Hallo it123,

> Ich habe dort folgende Formel gefunden:
>  
> [mm]T_2f(x,a)=f(a)+\summe_{i=1}^{n}\partial_if(a)(x_i-a_i)+1/2\summe_{i,j=1}^{n}\partial_{ij}f(a)(x_i-a_i)(x_j-a_j)[/mm]
>  
> Also setze ich ein:
>  
> [mm]T_2f((x_1,x_2),(0,0))=exp(0*0)+exp(0*0)*0(x_1-0)+exp(0*0)*0(x_2-0)+1/2(1(x_1-0)(x_2-0)+1(x_2-0)+1(x_2-0)(x_1-0))=1+1/2(x_1x_2+x_2x_1)=1+x_1x_2[/mm]
>  

Korrekt muss es doch zunächst so lauten:

[mm]T_2f((x_1,x_2),0,0))=exp(0*0)+exp(0*0)*0(x_1-0)+exp(0*0)*0(x_2-0)[/mm]
[mm]+1/2((\blue{0*\left(x_{1}-0\right)^{2}}+1(x_1-0)(x_2-0)+1(x_2-0)(x_1-0)+\blue{0*\left(x_{2}-0\right)^{2}})[/mm]


> Stimmt das jetzt?


Das Endergebnis stimmt. [ok]


Gruss
MathePower

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