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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 Mi 25.08.2010 | | Autor: | Bling |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das vierte Taylor-Polynom um [mm] x_{0}=0 [/mm] der Funktion
[mm] f(x)=\bruch{1}{1+cos(x)} [/mm] |
Hallo,
Ich hab mich gerade der obrigen Aufgabe zugewandt. Ich versteh ja das Prinzip der Taylorreihe und ich seh auch was gefordert wird
das vierte Taylorpolynom soll ja schlussendlich so ausschauen:
[mm] T_{4}(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})*(x-x_{0})+\bruch{1}{2}*f''(x_{0})*(x-x_{0})+\bruch{1}{6}*f'''(x_{0})*(x-x_{0})+\bruch{1}{24}*f''''(x_{0})*(x-x_{0})
[/mm]
jetzt hab ich begonnen die Funktion f(x) abzuleiten, das geht auch gut soweit, aber so ab der 3. spätestens bei der 4. Ableitung wirds schon recht aufwendig (die ganze Aufgabe soll ohne Rechner gelöst werden)
Meine Frage ist nun, gibt es einen Trick den man hierbei anwenden kann, damit man die Ableitungen besser bestimmen kann oder sowas?
Lässt sich da etwas machen mit der definition vom Cosinus als Taylorreihe? Also wenn ich die z.B. auf meiner Formelsammlung (oder noch besser im Kopf ) zur Verfügung hätte
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Hallo Bling,
>Aufgabe
> Bestimmen Sie das vierte Taylor-Polynom um $ [mm] x_{0}=0 [/mm] $ der Funktion
> $ [mm] f(x)=\bruch{1}{1+cos(x)} [/mm] $
> Hallo,
> Ich hab mich gerade der obrigen Aufgabe zugewandt. Ich versteh ja das Prinzip der Taylorreihe und ich seh auch was gefordert wird
> das vierte Taylorpolynom soll ja schlussendlich so ausschauen:
>$ [mm] T_{4}(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot{}(x-x_{0})+\bruch{1}{2}\cdot{}f''(x_{0})\cdot{}(x-x_{0})+\bruch{1}{6}\cdot{}f'''(x_{0})\cdot{}(x-x_{0})+\bruch{1}{24}\cdot{}f''''(x_{0})\cdot{}(x-x_{0}) [/mm] $
>jetzt hab ich begonnen die Funktion f(x) abzuleiten, das geht auch gut soweit, aber so ab der 3. spätestens bei der 4. Ableitung wirds schon recht aufwendig (die ganze Aufgabe soll ohne Rechner gelöst werden)
> Meine Frage ist nun, gibt es einen Trick den man hierbei anwenden kann, damit man die Ableitungen besser bestimmen kann oder sowas?
> Lässt sich da etwas machen mit der definition vom Cosinus als Taylorreihe? Also wenn ich die z.B. auf meiner Formelsammlung (oder noch besser im Kopf) zur Verfügung hätte
Ja, da vermutest Du richtig.
Schreibe die Funktion als unendliche geometrische Reihe:
[mm]f(x)=\bruch{1}{1+cos(x)}=\bruch{1}{1-\left(-cos(x)\right)}=\summe_{k=0}^{\infty}\left(-cos(x)\right)^{k}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Mi 25.08.2010 | | Autor: | Bling |
und wie sieht man, dass [mm] \bruch{1}{1-\left(-cos(x)\right)}=\summe_{k=0}^{\infty}\left(-cos(x)\right)^{k} [/mm] ist?
und wie bekomm ich dann aus [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\left(-cos(x)\right)^{k} [/mm] das vierte Taylorpolynom, das um den Punkt [mm] x_{0} [/mm] entwickelt ist?
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Hallo!
> und wie sieht man, dass
> [mm]\bruch{1}{1-\left(-cos(x)\right)}=\summe_{k=0}^{\infty}\left(-cos(x)\right)^{k}[/mm]
> ist?
Das ist die geometrische Reihe!
Allerdings geht das für x = 0 gerade nicht (wegen cos(0) = 1).
> und wie bekomm ich dann aus
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\left(-cos(x)\right)^{k}[/mm] das vierte
> Taylorpolynom, das um den Punkt [mm]x_{0}[/mm] entwickelt ist?
Du müsstest nun noch den Kosinus in eine Reihe entwickeln, also
[mm]cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}*\frac{x^{2n}}{(2n)!}[/mm]
Allerdings ist das effektiv nicht weniger Aufwand als die Ableitungen auszurechnen.
Es gibt noch eine Art "Trick", womit das Ausrechnen etwas einfacher wird:
[mm]\frac{1}{1+cos(x)} = \frac{1}{1+\cos^{2}(x/2)-\sin^{2}(x/2)} = \frac{1}{2*cos^{2}(x/2)}[/mm].
(Deine Funktion ist nämlich gerade die Ableitung des Tangens tan(1/2*x).)
Ich lasse die Frage mal auf halb beantwortet, weil MathePower vielleicht ein anderes Ziel verfolgt hat mit der Kosinus-Reihe.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Mi 25.08.2010 | | Autor: | Bling |
Danke für deine Antwort, ich hab mal damit begonnen nun deinen Trick abzuleiten, doch das wird auch nicht unbedingt einfacher wenn man mit der Quotientenregel dann [mm] 2*cos(x/2)^2 [/mm] ableiten muss geschweige denn die weiteren Ableitungen... oder mach ich da was falsch?
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Hallo!
> Danke für deine Antwort, ich hab mal damit begonnen nun
> deinen Trick abzuleiten, doch das wird auch nicht unbedingt
> einfacher wenn man mit der Quotientenregel dann
> [mm]2*cos(x/2)^2[/mm] ableiten muss geschweige denn die weiteren
> Ableitungen... oder mach ich da was falsch?
[mm]f(x) = \frac{1}{2}*\frac{1}{\cos^{2}(x/2)}[/mm]
[mm]f'(x) = \frac{\sin(x/2)}{2*cos^{3}(x/2)}[/mm]
[mm]f''(x) = \frac{1/4*cos^{2}(x/2)+3/4*\sin^{2}(x/2)}{\cos^{4}(x/2)}[/mm]
Aber zugegebenermaßen, auch nicht viel einfacher...
Grüße,
Stefan
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Hallo Bling,
>und wie sieht man, dass $ [mm] \bruch{1}{1-\left(-cos(x)\right)}=\summe_{k=0}^{\infty}\left(-cos(x)\right)^{k} [/mm] $ ist?
> und wie bekomm ich dann aus $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\left(-cos(x)\right)^{k} [/mm] $ das vierte Taylorpolynom, das um den Punkt $ [mm] x_{0} [/mm] $ entwickelt ist?
Ich muss leider zugeben, dass dies mit ungleich mehr Rechenaufwand verbunden ist, als die Ableitungen zu bilden.
Deshalb neue Überlegung:
[mm]f\left(x\right)=\bruch{1}{1+\cos\left(x\right)}=\bruch{1}{2-1+\cos\left(x\right)}=\bruch{1}{2-\left(1-\cos\left(x\right)\right)}=\bruch{1}{2}\bruch{1}{1-\left(\bruch{1-\cos\left(x\right)}{2}\right)}[/mm]
Jetzt kannst Du
[mm]\bruch{1}{1-\left(\bruch{1-\cos\left(x\right)}{2}\right)}[/mm]
in eine geometrische Reihe entwickeln.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Mi 25.08.2010 | | Autor: | Bling |
hehe das hört sich ja fantastisch an, ... Ich war der Hoffnung es ginge irgendwie ohne komplizierte Reihen (DAS Angst-Thema für mich :S)... die machen mir immer noch zu schaffen, da müsstest du mir noch etwas weiterhelfen, wie man auf diese Reihe kommt...
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Hallo Bling,
>hehe das hört sich ja fantastisch an, ... Ich war der Hoffnung es ginge irgendwie ohne komplizierte Reihen (DAS Angst-Thema für mich :S)... die machen mir immer noch zu schaffen, da müsstest du mir noch etwas weiterhelfen, wie man auf diese Reihe kommt..
Ziel ist es,
[mm]f\left(x\right)=\bruch{1}{1+\cos\left(x\right)}[/mm]
in der Form
[mm]f\left(x\right)=\bruch{\alpha}{1-q}[/mm]
schreiben zu könnnen, wobei sich der Wert ergibt,
falls [mm]\vmat{q}<1[/mm]
Dann kannst Du das nämlich in eine unendliche
geometrische Reihe entwickeln. Diese konvergiert
ja bekanntlich für [mm]\vmat{q}<1[/mm]
Andererseits kannst Du f(x) so schreiben:
[mm]f\left(x\right)=\bruch{1}{1+cos\left(x\right)}=\bruch{1}{1+\…cos\left(x_{0}\right)-cos\left(x_{0}\right)+cos\left(x\right)}=\bruch{1}{\left( \ 1+\…cos\left(x_{0}\right) \ \right)-\left( \ cos\left(x_{0}\right)-\left(cos\left(x\right) \ \right)}[/mm]
Hier wird eine künstliche Null im Nenner addiert.
[mm]0=\cos\left(x_{0}\right)-cos\left(x_{0}\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Mi 25.08.2010 | | Autor: | Bling |
Seufz... ich seh echt nicht durch... ich kann überhaupt nicht nachvollziehen was du mir damit sagen willst, oder was ich damit nun anstellen kann...
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Hallo Bling,
> Seufz... ich seh echt nicht durch... ich kann überhaupt nicht nachvollziehen was du mir damit sagen willst, oder was ich damit nun anstellen kann...
Ausgehend von
[mm] f\left(x\right)=\bruch{1}{1+cos\left(x\right)}=\bruch{1}{1+\…cos\left(x_{0}\right)-cos\left(x_{0}\right)+cos\left(x\right)} \right)}=\bruch{1}{\left( \ 1+\…cos\left(x_{0}\right) \ \right)- \left( \ \cos\left(x_{0}\right)-cos\left(x\right) \ \right)} [/mm]
kannst Du jetzt schreiben
[mm]f\left(x\right)=\bruch{1}{1+cos\left(x\right)}=\bruch{1}{\left( \ 1+\…cos\left(x_{0}\right) \ \right)- \left( \ \cos\left(x_{0}\right)-cos\left(x\right) \ \right)}=\bruch{1}{1+\…cos\left(x_{0}\right)} \bruch{1}{1-\left( \ \bruch{\ cos\left(x_{0}\right)-cos\left(x\right)}{1+\…cos\left(x_{0}\right)} \right)}[/mm]
Das kann das jetzt in eine geometrische Reihe entwickelt werden:
[mm]\bruch{1}{1-\left( \ \bruch{\ cos\left(x_{0}\right)-\cos\left(x\right)}{1+\…cos\left(x_{0}\right)} \right)}=\summe_{k=0}^{\infty}\left( \ \bruch{\ cos\left(x_{0}\right)-cos\left(x\right)}{1+\…cos\left(x_{0}\right)}\right)^{k}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:06 Mi 25.08.2010 | | Autor: | Bling |
Danke für deine Mühe und Geduld... ! Ich mach dann jetzt Pause und lass das morgen nochmal auf mich wirken :D
gute Nacht
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