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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Di 11.03.2008 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
hätte ne frage zu folgendem beispiel:
[Dateianhang nicht öffentlich]
hab mal folgende ableitungen gebildet und den punkt (0,0,5) eingesetzt:
[mm] \partial f/\partial x=e^{(x/2)+4*y^2}*1/2*z^2=25/2
[/mm]
[mm] \partial^2f/\partial x^2=e^{(x/2)+4\cdot{}y^2}\cdot{}1/4\cdot{}z^2=25/4
[/mm]
[mm] \partial f/\partial y=e^{(x/2)+4*y^2}*8*y*z^2=0
[/mm]
[mm] \partial^2f/\partial y^2=e^{(x/2)+4*y^2}*8*z^2+64*y^2*e^{(x/2)+4*y^2}*z^2=200
[/mm]
[mm] \partial f/\partial y=e^{(x/2)+4*y^2}*2*z=10
[/mm]
[mm] \partial^2f/\partial y^2=e^{(x/2)+4*y^2}*2=2
[/mm]
nur ich weiß jetzt leider die formel nicht, ich kenn die formel nur wenn ich die punkte x und y habe, aber jetzt habe ichs ja mit x y und z?
danke!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Dagobert,
> hallo!
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> hätte ne frage zu folgendem beispiel:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> hab mal folgende ableitungen gebildet und den punkt (0,0,5)
> eingesetzt:
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> [mm]\partial f/\partial x=e^{(x/2)+4*y^2}*1/2*z^2=25/2[/mm]
>
> [mm]\partial^2f/\partial x^2=e^{(x/2)+4\cdot{}y^2}\cdot{}1/4\cdot{}z^2=25/4[/mm]
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> [mm]\partial f/\partial y=e^{(x/2)+4*y^2}*8*y*z^2=0[/mm]
>
> [mm]\partial^2f/\partial y^2=e^{(x/2)+4*y^2}*8*z^2+64*y^2*e^{(x/2)+4*y^2}*z^2=200[/mm]
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> [mm]\partial f/\partial y=e^{(x/2)+4*y^2}*2*z=10[/mm]
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> [mm]\partial^2f/\partial y^2=e^{(x/2)+4*y^2}*2=2[/mm]
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> nur ich weiß jetzt leider die formel nicht, ich kenn die
> formel nur wenn ich die punkte x und y habe, aber jetzt
> habe ichs ja mit x y und z?
Das kann man sich auch herleiten:
[mm]f\left(x,y,z\right)=\summe_{l=0, i+j+k=l}^{\infty}{a_{ijk}*\left(x-x_{0}\right^{i}*\left(y-y_{0}\right^{j}*\left(z-z_{0}\right)^{k}}[/mm]
woraus sich dann die Koeffizienten [mm]a_{ijk}[/mm] ergeben:
[mm]a_{ijk}=\bruch{1}{i! * j!*k!}*\bruch{\partial^{i+j+k} f\left(x,y,z\right)}{\partial x^{i} \partial y^{j} \partial
z^{k}}|_\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)[/mm]
[mm]\bruch{\partial^{i+j+k} f\left(x,y,z\right)}{\partial x^{i} \partial y^{j} \partial
z^{k}}|_{\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)}=f_{ {\underbrace{x \ \cdots \ x}_ {i-mal}} {\underbrace{y \ \cdots \ y}_ {j-mal}} {\underbrace{z \ \cdots \ z}_ {k-mal}} }\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)[/mm]
Da hier nur das Taylorpolynom 2. Grades anzugeben ist, gilt hier:
[mm]T_{2}\left(x,y,z\right)=[/mm]
[mm]f\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)+[/mm]
[mm]f_{x}\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)*\left(x-x_{0}\right)+f_{y}\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)*\left(y-y_{0}\right)+f_{z}\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)*\left(z-z_{0}\right)+[/mm]
[mm]\bruch {1}{2}*f_{xx}\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)*\left(x-x_{0}\right)^{2}+f_{xy}\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)*\left(x-x_{0}\right)*\left(y-y_{0}\right)+f_{xz}\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)*\left(x-x_{0}\right)*\left(z-z_{0}\right)+[/mm]
[mm]\bruch {1}{2}*f_{yy}\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)*\left(y-y_{0}\right)^{2}+f_{yz}\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)*\left(y-y_{0}\right)*\left(z-z_{0}\right)+[/mm]
[mm]\bruch {1}{2}*f_{zz}\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)*\left(z-z_{0}\right)^{2}[/mm]
>
> danke!
>
>
Gruß
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