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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:41 Do 26.01.2017 | | Autor: | Dom_89 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f, definiert durch f(x) = [mm] x^{2}*ln(x)
[/mm]
a) Gebe das Taylorpolynom 2. Ordnung von f im Entwicklungspunkt [mm] x_{0}= [/mm] 1 an.
b) Gebe mit Hilfe von a) eine Nährung von f an der Stelle [mm] \bruch{11}{10} [/mm] an und zeige, dass der Fehler höchstens [mm] \bruch{1}{3000} [/mm] beträgt. |
Hallo,
hier einmal meine Lösung:
a)
f(x) = [mm] x^{2}*ln(x) \Rightarrow [/mm] 0
f´(x) = 2x*ln(x)+x [mm] \Rightarrow [/mm] 1
f´´(x) = 2ln(x)+3 [mm] \Rightarrow [/mm] 3
f´´´(x) = [mm] \bruch{2}{x}
[/mm]
[mm] T_{2}(x) [/mm] = [mm] (x-x_{0})+\bruch{3}{2}(x-x_{0})^{2}
[/mm]
b)
[mm] f(\bruch{11}{10})\approx T_{2}(\bruch{11}{10}) [/mm] = [mm] (\bruch{11}{10} -1)+\bruch{3}{2}(\bruch{11}{10} -1)^2 [/mm] = [mm] \bruch{23}{200}
[/mm]
[mm] |T_{2}(\bruch{11}{10})-f(\bruch{11}{10})| [/mm] = [mm] |R_{2}(\bruch{11}{10})|
[/mm]
[mm] R_{2}(\xi)= [/mm] $ [mm] \bruch{f^{3}(\xi)}{3!}(x-x_{0})^{3} [/mm] $ = [mm] \bruch{1}{3}\xi(x-1)^3
[/mm]
Kann man das so machen?
Fehlt da noch etwas ?
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Hiho,
> f(x) = [mm]x^{2}*ln(x) \Rightarrow[/mm] 0
> f´(x) = 2x*ln(x)+x [mm]\Rightarrow[/mm] 1
> f´´(x) = 2ln(x)+3 [mm]\Rightarrow[/mm] 3
> f´´´(x) = [mm]\bruch{2}{x}[/mm]
Was soll das [mm] $\Rightarrow$ [/mm] immer bedeuten? Ich orakel zwar jetzt richtig, aber das solltest du besser ausformulieren!
> [mm]T_{2}(x)[/mm] = [mm](x-x_{0})+\bruch{3}{2}(x-x_{0})^{2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b)
>
> [mm]f(\bruch{11}{10})\approx T_{2}(\bruch{11}{10})[/mm] =
> [mm](\bruch{11}{10} -1)+\bruch{3}{2}(\bruch{11}{10} -1)^2[/mm] =
> [mm]\bruch{23}{200}[/mm]
>
> [mm]|T_{2}(\bruch{11}{10})-f(\bruch{11}{10})|[/mm] =
> [mm]|R_{2}(\bruch{11}{10})|[/mm]
>
> [mm]R_{2}(\xi)=[/mm] [mm]\bruch{f^{3}(\xi)}{3!}(x-x_{0})^{3}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}\xi(x-1)^3[/mm]
Korrekt wäre wohl eher:
[mm]\bruch{1}{3\xi}(x-1)^3[/mm]
Was ist bei dir $x$, was ist $xi$?.
Du sollst den Fehler ja abschätzen, also irgendwas musst du da noch abschätzen 
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 So 29.01.2017 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo,
danke für die Antwort!
[mm] "\Rightarrow" [/mm] soll bedeuten, dass dies das Ergebnis ist, welches nach dem Einsetzen des Entwicklungspunktes herauskommt.
Ich habe dann nochmal versucht weiterzukommen:
$ [mm] R_{2}(\xi)= [/mm] $ $ [mm] \bruch{f^{3}(\xi)}{3!}(x-x_{0})^{3} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{3\xi}(x-x_{0})^3 [/mm] $
$ [mm] |T_{2}(\bruch{11}{10})-f(\bruch{11}{10})| [/mm] $ = $ [mm] |R_{2}(\bruch{11}{10})| [/mm] $
$ [mm] \bruch{1}{3\xi}(x-x_{0})^3 [/mm] $ = [mm] \bruch{(x-x_{0})^3}{3\xi} [/mm] = [mm] \bruch{(\bruch{11}{10}-\bruch{10}{10})^3}{3\xi} [/mm] = [mm] \bruch{(\bruch{1}{10})^3}{3\xi} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{1000}}{3\xi}
[/mm]
Nun bin ich aber unsicher, wie es weitergeht bzw. ob das überhaupt so richtig ist?
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Hiho,
> [mm]"\Rightarrow"[/mm] soll bedeuten, dass dies das Ergebnis ist,
> welches nach dem Einsetzen des Entwicklungspunktes
> herauskommt.
ich weiß schon, was es bedeutet. Sauber aufgeschrieben ist das aber nicht!
Links und Rechts von einem Folgepfeil müssen jeweils Aussagen stehen.
Bei dir steht links aber eine Aussage in Form einer Gleichung und rechts nur eine reelle Zahl!
Korrekt wäre also:
$f(x) = [mm] \ldots \Rightarrow [/mm] f(1) = [mm] \ldots$
[/mm]
Denn rechts steht nun genau das: Der Funktionswert von f, wenn man 1 einsetzt!
> = [mm]\bruch{\bruch{1}{1000}}{3\xi}[/mm]
bei dem restlichen Zeug halt genauso: Inhaltlich ist das zwar richtig, aufgeschrieben geht das aber deutlich schöner!
D.h. dein Ergebnis bis hier hin ist korrekt. Überlege dir nun noch, aus welchem Intervall dein [mm] $\xi$ [/mm] kommt, dann kannst du den Ausdruck noch einmal mehr nach oben abschätzen auf einen Ausdruck ohne [mm] $\xi$ [/mm] und du bist fertig.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 So 29.01.2017 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo,
vielen Dank für die Antwort!
Hier einmal meine Idee:
$ [mm] \bruch{\bruch{1}{1000}}{3\xi} [/mm] $ ist ja meine bisherige Lösung.
Laut Aufgabenstellung soll ich doch zeigen, dass der Fehler maximal [mm] \bruch{1}{3000} [/mm] bei der Nährung aus b) beträgt.
[mm] \bruch{1}{3000} [/mm] wird der Ausdruck doch genau, wenn ich für [mm] \xi [/mm] = [mm] \bruch{10}{10} [/mm] einsetzte; das ist ja auch der Entwicklungspunkt [mm] x_{0} [/mm] aus der Aufgabenstellung.
Kann man dann sagen, dass [mm] \xi [/mm] zwischen [mm] \bruch{1}{10} [/mm] und [mm] \bruch{10}{10} [/mm] liegt?
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Hiho,
> Kann man dann sagen, dass [mm]\xi[/mm] zwischen [mm]\bruch{1}{10}[/mm] und [mm]\bruch{10}{10}[/mm] liegt?
Ja kann man das?
Du hast doch die Restgliedformel verwendet, in der das [mm] $\xi$ [/mm] plötzlich auftauchte!
Dann solltest du auch die Voraussetzungen dafür kennen.
Schlag die bitte nach und dann sage mir, was für Bedingungen an das [mm] $\xi$ [/mm] gestellt sind.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Mo 30.01.2017 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo,
vielen Dank für die Antwort!
Ich habe jetzt folgende Formlulierung gefunden:
[mm] \xi \in [/mm] { [mm] x_{0},x [/mm] }
Das würde für meine Aufgabe ja dann heißen: [mm] \xi \in [/mm] { 1, [mm] \bruch{11}{10} [/mm] }
Aber dann verstehe ich nicht, was ich noch machen muss, damit die Aufgabe abgeschlossen ist!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:51 Mo 30.01.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> vielen Dank für die Antwort!
>
> Ich habe jetzt folgende Formlulierung gefunden:
>
> [mm]\xi \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]x_{0},x[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
Du meinst sicher [mm]\xi \in[/mm] ( [mm]x_{0},x[/mm] )
>
> Das würde für meine Aufgabe ja dann heißen: [mm]\xi \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ 1,
> [mm]\bruch{11}{10}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
Auch hier: [mm]\xi \in[/mm] ( 1, [mm]\bruch{11}{10}[/mm] )
>
> Aber dann verstehe ich nicht, was ich noch machen muss,
> damit die Aufgabe abgeschlossen ist!
Wenn $ [mm] \xi \in [/mm] $ ( 1, $ [mm] \bruch{11}{10} [/mm] $ ) , so ist [mm] \xi [/mm] >1, also [mm] \bruch{1}{\xi}<1 [/mm] und somit
[mm] \bruch{1}{3 \xi *100}< \bruch{1}{3000} [/mm]
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