Taylorentwicklung falsch? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Di 25.07.2006 | | Autor: | Soldi01 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Taylorreihe der Funktion [mm]f[/mm] um den Entwicklungspunkt [mm]p=0[/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases}
\bruch{\sin(x)-x}{x^3}& \mbox{falls }x\ne 0\\
-\bruch{1}{6}&\mbox{falls }x=0
\end{cases} [/mm] |
Also ich bin der Meinung das das Taylorpolynom doch [mm]T_n(x;0)=-\bruch{1}{6}[/mm] sein müßte, da [mm]f^n(x_0=0)=0[/mm] sein müßte...
Sehe ich dieses Falsch?
Maple hat ein sehr merkwürdiges Ergebnis rausgehabt...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:28 Di 25.07.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Soldi!
Die Taylor-Reihe ist ja bei dem Entwicklungspunkt $p \ = \ 0$ nicht nur für diesen x-Wert gültig, sondern auch für einen Bereich um diesen Punkt herum (je nachdem wieviele Glieder Du berechnest, umso größer wird das gültige Intervall um diesen Entwicklungspunkt).
Beginne nun mit der bekannten(?) Taylor-Reihe für die Sinus-Funktion und setze diese in den Ausdruck [mm] $\bruch{\blue{\sin(x)}-x}{x^3}$ [/mm] ein.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:39 Di 25.07.2006 | | Autor: | Soldi01 |
Danke Loddar für die schnelle antwort!
hmm.. ok aber welchen Entwicklungspunkt soll ich dann für die Taylorreihe mit [mm]\bruch{\sin(x)-x}{x^3}[/mm] nehmen? den bei [mm]x_0=0[/mm] kommt ja ein unbestimmter Ausdruck dann raus [mm] \bruch{\mbox{irgendwas}}{0}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:47 Di 25.07.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Soldi!
Was hast Du denn genau gerechnet?
Die Sinus-Reihe lautet: [mm] $\sin(x) [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}*\bruch{x^{2k-1}}{(2k-1)!} [/mm] \ = \ [mm] x-\bruch{x^3}{3!}+\bruch{x^5}{5!}-\bruch{x^7}{7!}\pm...$
[/mm]
Durch Einsetzen in [mm] $\bruch{\sin(x)-x}{x^3}$ [/mm] erhalte ich dann einen schönen Ausdruck, der auch eindeutig für [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ definiert ist.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:23 Di 25.07.2006 | | Autor: | Soldi01 |
ja ne ok wer lesen kann ist klar im vorteil...
ich habe jetzt das ergebnis thx...
thx...
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