Taylorentwicklung Besselfkt. < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Mi 11.12.2013 | | Autor: | marti |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das TAYLOR-Polynom der Ordnung 5 von [mm] J_{3}(x) [/mm] zum Entwicklungspunkt [mm] x_{0}=0 [/mm] sowie das zugehörige Restglied, und schätzen Sie das Restglied für x [mm] \in [/mm] [-2,+2] ab.
Für die nötigen Stammfunktionen können Sie auf eine Formelsammlung zurück greifen ( aber bitte korrekt und vollständig zitieren! )
Der weitere Rechenweg über die komplexen Integrale I(n,m) und Konvergenz der TAYLOR-Reihe gegen [mm] J_{n}(x), [/mm] darf für diese Aufgabe nicht verwendet werden. Die Integrale sollen also "zu Fuß" bestimmt werden.
[mm] J_{3}(x)=\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{cos(3t - xsin(t)) dt} [/mm] |
Hallo Leute,
für das Taylor-Polynom 5.Ordnung + Restglied brauche ich ja die ersten 6 Ableitungen der Besselfunktion. Das ist ja noch recht simpel da ich nach x Ableiten muss. Das Problem ist nur das ich das resultierende Integral nicht algebraisch lösen kann.
Als Beispiel die erste Ableitung, da die weiteren sehr ähnlich sind sollte ich sie dann auch lösen können.
Durch differenzieren unter dem Integral erhalte ich :
[mm] J^{(1)}(x)=-\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{sin(3t - xsin(t))*sin(t) dt}
[/mm]
So und nun beginnt schon mein Problem...Ich habe zwei Ansätze bzw. Umformungen die mich aber nicht weiter bringen
1) durch Umformung:
[mm] J^{(1)}(x)=-\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{2}(cos(3t - xsin(t)-t)-cos(3t-xsin(t)+t)) dt}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{2}(cos(2t - xsin(t))) dt}+\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{2}(cos(4t - xsin(t))) dt}
[/mm]
2) durch Umformung:
[mm] J^{(1)}(x)=-\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{[sin(3t)*cos(xsin(t)) - cos(3t)*sin(x*sin(t))]*sin(t) dt}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{sin(3t)*cos(xsin(t))*sin(t) dt}+\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{ cos(3t)*sin(x*sin(t))*sin(t) dt}
[/mm]
Bei beiden Ansätzen kann ich keine Stammfunktion finden, weder rechnerisch noch mit einer Formelsammlung ( Bronstein ).
Hab jetzt den ganzen Tag rumprobiert und zweifel langsam daran das die Integrale überhaupt algebraisch lösbar sind, die Bessel-fkt. ist es ja immerhin auch nicht.
Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen.
Liebe Grüße marti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 Mi 11.12.2013 | | Autor: | rainerS |
Hallo marti!
> Bestimmen Sie das TAYLOR-Polynom der Ordnung 5 von [mm]J_{3}(x)[/mm]
> zum Entwicklungspunkt [mm]x_{0}=0[/mm] sowie das zugehörige
> Restglied, und schätzen Sie das Restglied für x [mm]\in[/mm]
> [-2,+2] ab.
>
> Für die nötigen Stammfunktionen können Sie auf eine
> Formelsammlung zurück greifen ( aber bitte korrekt und
> vollständig zitieren! )
>
> Der weitere Rechenweg über die komplexen Integrale I(n,m)
> und Konvergenz der TAYLOR-Reihe gegen [mm]J_{n}(x),[/mm] darf für
> diese Aufgabe nicht verwendet werden. Die Integrale sollen
> also "zu Fuß" bestimmt werden.
>
> [mm]J_{3}(x)=\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{cos(3t - xsin(t)) dt}[/mm]
>
> Hallo Leute,
> für das Taylor-Polynom 5.Ordnung + Restglied brauche ich
> ja die ersten 6 Ableitungen der Besselfunktion. Das ist ja
> noch recht simpel da ich nach x Ableiten muss. Das Problem
> ist nur das ich das resultierende Integral nicht
> algebraisch lösen kann.
>
> Als Beispiel die erste Ableitung, da die weiteren sehr
> ähnlich sind sollte ich sie dann auch lösen können.
>
> Durch differenzieren unter dem Integral erhalte ich :
>
> [mm]J^{(1)}(x)=-\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{sin(3t - xsin(t))*sin(t) dt}[/mm]
Nicht ganz, das Vorzeichen ist falsch.
> So und nun beginnt schon mein Problem...Ich habe zwei
> Ansätze bzw. Umformungen die mich aber nicht weiter
> bringen
Warum so kompliziert? Du brauchst für die Taylorentwicklung nur den Wert
[mm] J_3^{(1)}(0) = \bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{sin(3t)*sin(t) dt} = 0[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Mi 11.12.2013 | | Autor: | marti |
Danke für die Antwort aber ich soll das taylorpolynom in abhängigkeit von x angeben und nicht für x=0...
Gruß marti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Mi 11.12.2013 | | Autor: | chrisno |
Schau Dir noch einmal das Talorpolynom an. Die Ableitungen der Funktionen werden für den Entwicklungspunkt bestimmt, die Potenzen von x stehen dahinter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:31 Mi 11.12.2013 | | Autor: | marti |
Oooohman ok alles klar...
Hat sich somit geklärt (manchmal echtn Brett vorm Kopf)
Vielen dank nochmal
Gruß marvin
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