www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Partielle Differentialgleichungen" - Taylorentwicklung
Taylorentwicklung < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Partielle Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Taylorentwicklung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:46 Di 22.05.2012
Autor: Mathe-Lily

Aufgabe
Berechnen Sie mit der Mutliindexnotation die Taylorentwicklung erster Ordnung im Punkt (1,1) für
f(x,y) = [mm] \bruch{x-y}{x+y}. [/mm]

Hallo!
Eigentlich ist das ein Beispiel aus unserem Anaylis II - Skript.
Ich verstehe auch die Formel [mm] P_{k} [/mm] (x) = [mm] \summe_{|\alpha| \le k} \bruch{D^{\alpha} f(x_{0})}{\alpha!} (x-x_{0})^{\alpha} [/mm] theoretisch.
Nur bei der Umsetzung im [mm] \R^{2} [/mm] haperts gerade etwas:
wie berechne ich beispielsweise [mm] ((x,y)-(1,1))^{(1,0)} [/mm] ?
Es kommt wohl (x-1) raus... aber wie kommt man da hin?
(x,y)-(1,1) = (x-1,y-1)
[mm] (x-1,y-1)^{(1,0)} [/mm] --> ist dann so was wie eine Multiplikation von dem Vektor mit (1,0)?
also [mm] (1,0)*\vektor{x-1 \\ y-1} [/mm]  denn dann würde ja (x-1) rauskommen...?
Kann mir hier jemand helfen?
Grüßle, Lily

        
Bezug
Taylorentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:52 Di 22.05.2012
Autor: schachuzipus

Hallo Mathe-Lily,


> Berechnen Sie mit der Mutliindexnotation die
> Taylorentwicklung erster Ordnung im Punkt (1,1) für
>  f(x,y) = [mm]\bruch{x-y}{x+y}.[/mm]
>  Hallo!
>  Eigentlich ist das ein Beispiel aus unserem Anaylis II -
> Skript.
>  Ich verstehe auch die Formel [mm]P_{k}[/mm] (x) = [mm]\summe_{|\alpha| \le k} \bruch{D^{\alpha} f(x_{0})}{\alpha!} (x-x_{0})^{\alpha}[/mm]
> theoretisch.
>  Nur bei der Umsetzung im [mm]\R^{2}[/mm] haperts gerade etwas:
>  wie berechne ich beispielsweise [mm]((x,y)-(1,1))^{(1,0)}[/mm] ?
>  Es kommt wohl (x-1) raus... aber wie kommt man da hin?

Es ist [mm]((x,y)-(1,1))^{(1,0)}=(x-1,y-1)^{(1,0)}[/mm] normale Vektoraddition

[mm]=(x-1)^1\cdot{}(y-1)^0[/mm]

allg. [mm]x^k=(x_1,...,x_n)^{(k_1,...,k_n)}=x_1^{k_1}\cdot{}x_2^{k_2}\cdot{}\ldots\cdot{} x_n^{k_n}[/mm]

Also etwa als Bsp. [mm]((x,y)-(a,b))^{(4,2)}=(x-a,y-b)^{(4,2)}=(x-a)^4\cdot{}(y-b)^2[/mm]

>  (x,y)-(1,1) = (x-1,y-1)
>  [mm](x-1,y-1)^{(1,0)}[/mm] --> ist dann so was wie eine

> Multiplikation von dem Vektor mit (1,0)?
> also [mm](1,0)*\vektor{x-1 \\ y-1}[/mm]  denn dann würde ja (x-1)
> rauskommen...?
>  Kann mir hier jemand helfen?
>  Grüßle, Lily

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Taylorentwicklung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:03 Di 22.05.2012
Autor: Mathe-Lily

Danke!
hatte mir das gerade bei einer anderen aufgabe hergeleitet... eigentlich logisch ^^

Bezug
        
Bezug
Taylorentwicklung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:30 Di 22.05.2012
Autor: Mathe-Lily

ich habe noch eine Frage dazu:
Und zwar wird im Laufe des Beispiels auch das Restglied mit Lagrange  im Zwischenpunkt (a,b) berechnet :
[mm] R_{1} [/mm] (x,y) = [mm] \bruch{D^{(2,0)} f(a,b)}{2!0!} ((x,y)-(1,1))^{(2,0)} +\bruch{D^{(1,1)} f(a,b)}{1!1!} ((x,y)-(1,1))^{(1,1)} [/mm] + [mm] \bruch{D^{(0,2)} f(a,b)}{0!2!} ((x,y)-(1,1))^{(0,2)} [/mm]

Ich kenne bei der partiellen Ableitung eigentlich die Schreibweise [mm] D_{2}D_{1} [/mm] bzw [mm] D_{1}D_{2} [/mm] statt [mm] D^{(1,1)}, [/mm] was jedoch auch eindeutiger ist, da es anzeigt, nach welcher Variablen jeweils zuerst abgeleitet wurde. Dies ist in dieser Aufgabe ja egal, da [mm] D_{2}D_{1} =D_{1}D_{2}, [/mm] doch das ist es nicht immer. Was mache ich, wenn das der Fall ist? Muss dann das Restglied aus 4 Summanden bestehen? Und müsste das nicht eigentlich auch der Fall sein, wenn [mm] D_{2}D_{1} =D_{1}D_{2}? [/mm]
also:
[mm] R_{1} [/mm] (x,y) = [mm] \bruch{D^{(2,0)} f(a,b)}{2!0!} ((x,y)-(1,1))^{(2,0)} +\bruch{D^{(1,1)} f(a,b)}{1!1!} ((x,y)-(1,1))^{(1,1)} +\bruch{D^{(1,1)} f(a,b)}{1!1!} ((x,y)-(1,1))^{(1,1)} [/mm] + [mm] \bruch{D^{(0,2)}f(a,b)}{0!2!} ((x,y)-(1,1))^{(0,2)} [/mm]
bzw
[mm] R_{1} [/mm] (x,y) = [mm] \bruch{D^{(2,0)} f(a,b)}{2!0!} ((x,y)-(1,1))^{(2,0)} +\bruch{D_{2}D_{1} f(a,b)}{1!1!} ((x,y)-(1,1))^{(1,1)} +\bruch{D_{1}D_{2} f(a,b)}{1!1!} ((x,y)-(1,1))^{(1,1)} [/mm] + [mm] \bruch{D^{(0,2)}f(a,b)}{0!2!} ((x,y)-(1,1))^{(0,2)} [/mm]

Wäre toll, wenn mir jemand hier helfen würde! :-)
Grüßle, Lily

Bezug
                
Bezug
Taylorentwicklung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:53 Fr 25.05.2012
Autor: Mathe-Lily

hey! hab immernoch keine lösung dazu... könnte mir jemand helfen?? Danke :-)

Bezug
                
Bezug
Taylorentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:50 Di 29.05.2012
Autor: rainerS

Hallo Lily!

> ich habe noch eine Frage dazu:
>  Und zwar wird im Laufe des Beispiels auch das Restglied
> mit Lagrange  im Zwischenpunkt (a,b) berechnet :
>  [mm]R_{1}[/mm] (x,y) = [mm]\bruch{D^{(2,0)} f(a,b)}{2!0!} ((x,y)-(1,1))^{(2,0)} +\bruch{D^{(1,1)} f(a,b)}{1!1!} ((x,y)-(1,1))^{(1,1)}[/mm]
> + [mm]\bruch{D^{(0,2)} f(a,b)}{0!2!} ((x,y)-(1,1))^{(0,2)}[/mm]
>  
> Ich kenne bei der partiellen Ableitung eigentlich die
> Schreibweise [mm]D_{2}D_{1}[/mm] bzw [mm]D_{1}D_{2}[/mm] statt [mm]D^{(1,1)},[/mm] was
> jedoch auch eindeutiger ist, da es anzeigt, nach welcher
> Variablen jeweils zuerst abgeleitet wurde. Dies ist in
> dieser Aufgabe ja egal, da [mm]D_{2}D_{1} =D_{1}D_{2},[/mm] doch das
> ist es nicht immer.

Damit die Taylorformel gilt, müssen alle diese partiellen Ableitungen stetig sein, und damit ist die Reihenfolge egal (Satz von Schwarz).

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                        
Bezug
Taylorentwicklung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:22 Di 29.05.2012
Autor: Mathe-Lily

Ah, ok, Danke! :-)

Aber wie ist das dann bei der Restgliedabschätzung: müsste [mm] D^{(1,1)} [/mm] nicht 2mal auftauchen?

Bezug
                                
Bezug
Taylorentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:49 Mi 30.05.2012
Autor: rainerS

Hallo!

> Aber wie ist das dann bei der Restgliedabschätzung:
> müsste [mm]D^{(1,1)}[/mm] nicht 2mal auftauchen?

Ich bin mir nicht sicher, was du meinst.

Aber vor den anderen beiden Termen steht der Faktor 1/2, bei [mm]D^{(1,1)}[/mm] nicht.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                                        
Bezug
Taylorentwicklung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:06 Do 31.05.2012
Autor: Mathe-Lily

hä? wo ist da ein 1/2?

also bei mir gehts darum:
wir haben ein Beispiel im Skript für die Restgliedabschätzung für ein Taylorpolynom 1. Ordnung, dh. das Restglied ist 2. Ordnung: (im Zwischenpunkt [mm] (\alpha,\beta) [/mm] )

[mm] R_{1}(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{D^{(2,0)} f(\alpha,\beta)}{2!0!} ((x,y)-(1,1))^{(2,0)} [/mm] + [mm] \bruch{D^{(1,1)} f(\alpha,\beta)}{1!1!} ((x,y)-(1,1))^{(1,1)} [/mm] + [mm] \bruch{D^{(0,2)} f(\alpha,\beta)}{0!2!} ((x,y)-(1,1))^{(0,2)} [/mm]

Und meine Frage ist nun, ob nicht das [mm] \bruch{D^{(1,1)} f(\alpha,\beta)}{1!1!} ((x,y)-(1,1))^{(1,1)} [/mm] 2 mal auftauchen müsste, weil man ja theoretisch 4 mal ableiten muss beim 2. mal partiell differenzieren: xx,yy,xy,yx. wegen dem satz von schwarz sind die ableitungen xy und yx gleich (wie du mir ja gesagt hast), aber warum taucht das dann nicht 2mal auf?

Wäre toll, wenn du mir nochmal helfen könntest... oder jemand anderes :-)

Bezug
                                                
Bezug
Taylorentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:18 Do 31.05.2012
Autor: leduart

Hallo
alle Ableitungen 2 ter Ordnung treten mit 2! im nenner auf, bei dir [mm] D^{11} [/mm] mit 1! also doppelt so gross, wenn du deine Formel im 1. Post ansiehst hast du doch [mm] D^{\alpha}/\alpha! [/mm]
Gruss leduart

Bezug
                                                        
Bezug
Taylorentwicklung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:43 Do 31.05.2012
Autor: Mathe-Lily

aaah! ok, jetzt raff ichs!! Danke :-)

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Partielle Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]