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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 So 23.11.2008 | | Autor: | hayabusa |
| Aufgabe | | Sei f : U [mm] \to \IR, U\subset \IR^2 [/mm] offen und konvex und sei f zweimal stetig differenzierbar. Entwickle f für [mm] (x_1,x_2)\in [/mm] U. |
Die Lösung dazu lautet:
[mm] f(x_1+h_1,x_2+h_2)= f(x_1,x_2)+((h_1\partial_1+h_2\partial_2)f)(x_1,x_2)+\bruch{1}{2}((h_1\partial_1+h_2\partial_2)^2f)(x_1+\vartheta h_1, x_2 +\vartheta h_2) [/mm] , wobei [mm] \partial_i [/mm] = [mm] \bruch{\partial}{\partial_i} [/mm] mit i=1,2.
Mein Problem ist: Ich verstehe nicht, was das [mm] h_1 [/mm] oder [mm] h_2 [/mm] ist. Kann mir das bitte jemand erklären, wenn ich annehme, dass ich um (0,-1) entwickeln soll. Woher kriege ich [mm] h_1 [/mm] bzw. [mm] h_2 [/mm] her?
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Hallo hayabusa,
> Sei f : U [mm]\to \IR, U\subset \IR^2[/mm] offen und konvex und sei
> f zweimal stetig differenzierbar. Entwickle f für
> [mm](x_1,x_2)\in[/mm] U.
> Die Lösung dazu lautet:
>
> [mm]f(x_1+h_1,x_2+h_2)= f(x_1,x_2)+((h_1\partial_1+h_2\partial_2)f)(x_1,x_2)+\bruch{1}{2}((h_1\partial_1+h_2\partial_2)^2f)(x_1+\vartheta h_1, x_2 +\vartheta h_2)[/mm]
> , wobei [mm]\partial_i[/mm] = [mm]\bruch{\partial}{\partial_i}[/mm] mit
> i=1,2.
>
> Mein Problem ist: Ich verstehe nicht, was das [mm]h_1[/mm] oder [mm]h_2[/mm]
> ist. Kann mir das bitte jemand erklären, wenn ich annehme,
> dass ich um (0,-1) entwickeln soll. Woher kriege ich [mm]h_1[/mm]
> bzw. [mm]h_2[/mm] her?
[mm]h_{1}[/mm] bzw. [mm]h_{2}[/mm] sind die jeweiligen Differenzen zu den zwischen einem beliebigen Punkt und dem Entwicklungspunkt.
Wenn [mm]\pmat{ \tilde{ x_{1} } \\ \tilde{ x_{2} } }[/mm] der beliebige Punkt und [mm]\pmat{ x_{1} \\ x_{2} }[/mm] der Entwicklungpunkt ist, dann bedeuten
[mm]h_{1}=\tilde{ x_{1} } - x_{1}[/mm]
[mm]h_{2}=\tilde{ x_{2} } - x_{2}[/mm]
Gruß
MathePower
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