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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:12 Sa 16.12.2006 | | Autor: | Lealine |
| Aufgabe | [mm] (ln(1+x))^{(n)} [/mm] = [mm] (-1)^{n+1}\*(n-1)!/(x+1)^{n} [/mm] , [mm] n\ge1
[/mm]
Man bestimme den näherung für ln(1.1) mit Hilfe der Taylorapproximation.Dabei soll der Approximationsfehler nicht größer als [mm] 10^{-5} [/mm] sein. |
hallo liebe Mathematiker,
ansich dachte ich, ich hätte das mit der taylorapproximierung verstanden.aber hier ist die aufgabe schon wieder so komisch gestellt!
dei formel für die taylorapproximierung lautet ja:
[mm] f(x)=\summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{(k)}()x_0}{k!}(x-x_0)^{k}+R(x)
[/mm]
wobei hier [mm] R(x)=\bruch{f^{n+1}(\alpha)}{(n+1)!}\*(x-x_0)^{n+1} [/mm] ist, da die funktion ja n+1-mal differenzierbar ist.
Nun habe ich mir erstmal überlegt, dass in dieser aufgabe das [mm] x_0=0,1 [/mm] sein musss.Habe ich damit überhaupt recht?
ich habe jetzt erstmal ein paar ableitungen gebildet und dann auch gleich im punkt 0,1 ausgerechnet.
jetzt weiß ich aber gar nicht wie groß der grad des taylorpolynoms sein soll. oder ist das grad die aufgabe?
Soll ich jetzt das Polynom ersten grades bilden und dann mir das restglied anschauen.wenn das zu groß ist , dann das Tpolynom zweiten grades bilden.und dieses solange machen bis das restglied klein genug ist?
wie rechne ich denn die größe des Restgliedes aus?Ich weiß ja gar nicht, wie groß alpha ist,oder?
Also ich weiß, dass das [mm] \alpha [/mm] zwischen x und [mm] x_0 [/mm] liegt, aber bringt mir das etwas?
ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand sagen könnte ob ich auf dem richtigen dampfer bin.und vielleicht einen tipp zum bestimmen des restgliedes geben könnte oder im ersten Fall ausrechnen könnte!
Vielen Dank schon im Vorraus
Ich habe diese FRAGE IN KEINEM ANDEREN fORUM GESTELLT
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:49 So 17.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo lealine
> [mm](ln(1+x))^{(n)}[/mm] = [mm](-1)^{n+1}\*(n-1)!/(x+1)^{n}[/mm] , [mm]n\ge1[/mm]
Die Formel kann nicht stimmen, was hat sie mit der Aufgabe zu tun?
> Man bestimme den näherung für ln(1.1) mit Hilfe der
> Taylorapproximation.Dabei soll der Approximationsfehler
> nicht größer als [mm]10^{-5}[/mm] sein.
> hallo liebe Mathematiker,
> ansich dachte ich, ich hätte das mit der
> taylorapproximierung verstanden.aber hier ist die aufgabe
> schon wieder so komisch gestellt!
> dei formel für die taylorapproximierung lautet ja:
>
>
> [mm]f(x)=\summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{(k)}()x_0}{k!}(x-x_0)^{k}+R(x)[/mm]
>
> wobei hier
> [mm]R(x)=\bruch{f^{n+1}(\alpha)}{(n+1)!}\*(x-x_0)^{n+1}[/mm] ist, da
> die funktion ja n+1-mal differenzierbar ist.
Die Funktion ist unendlich oft differnzierbar, aber das spielt für die Fehlerabsch. keine Rolle.
> Nun habe ich mir erstmal überlegt, dass in dieser aufgabe
> das [mm]x_0=0,1[/mm] sein musss.Habe ich damit überhaupt recht?
Nein, du musst um x0=1 entwickeln, und dann für x= 1.1 einsetzen. denn nur den ln1 kennst du ja!
> ich habe jetzt erstmal ein paar ableitungen gebildet und
> dann auch gleich im punkt 0,1 ausgerechnet.
siehe oben! ln(0,1) ist genauso unbekannt, wie ln 1,1 !
> jetzt weiß ich aber gar nicht wie groß der grad des
> taylorpolynoms sein soll. oder ist das grad die aufgabe?
> Soll ich jetzt das Polynom ersten grades bilden und dann
> mir das restglied anschauen.wenn das zu groß ist , dann das
> Tpolynom zweiten grades bilden.und dieses solange machen
> bis das restglied klein genug ist?
> wie rechne ich denn die größe des Restgliedes aus?Ich weiß
> ja gar nicht, wie groß alpha ist,oder?
> Also ich weiß, dass das [mm]\alpha[/mm] zwischen x und [mm]x_0[/mm] liegt,
> aber bringt mir das etwas?
Ja, das Restglied kannst du immer nur abschätzen durch den größten Wert den die entsprechende Ablitung an der Stelle annimmt.
du hast ja auf jeden Fall [mm] (x-x0)^{n+1} [/mm] hier also [mm] 0,1^{n+1} [/mm] und durch (n+1)! für n+1=5 ist das erste schon [mm] 10^{-5}, [/mm] dann musst du nur noch sehen ob [mm] f^{(5)}/5!<1 [/mm] ist und du kommst mit dem 4. Taylor hin.
> ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand sagen könnte ob
> ich auf dem richtigen dampfer bin.und vielleicht einen tipp
> zum bestimmen des restgliedes geben könnte oder im ersten
> Fall ausrechnen könnte!
Du siehst nach, ob das Restglied bei 1 oder 1,1 größer ist und nimmst das größere von beiden.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:47 So 17.12.2006 | | Autor: | Lealine |
Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort,
du hast recht.diese Formel sollten wir vorher durch vollständige induktion beweisen.und dann die Taylorapproximation mit f(x)= "rechte Seite der Geleichung" oder "linke Seite der Gleichung!
Warum muss ich denn die Tailorapproximation mit [mm] x_{o}=1 [/mm] machen.das verstehe ich nicht.ich soll mich doch ln[1,1] annähern
solllte ich nicht vielleicht f(0.1)= "linke Seite der Gleichung "Davon das Taylorpolinom bilden.bis ich "fast" den Wert ln(1.1) erreicht habe?
Habe ich die Taylorapproximation vielleicht doch noch nicht richtig verstanden?
Liebe Grüße
Lea
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