Taylor Polynom < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:30 Sa 27.01.2007 | | Autor: | KaiTracid |
| Aufgabe | | Bestimmen sie das Taylerpolynom 4ten Grades der Funktion g : x -> sin(2x² + [mm] 4x^{4}) [/mm] zum Entwicklungspunkt [mm] x_{0}=0. [/mm] |
Also das Taylerpolynom ist ja dies hier: [mm] T_{n} [/mm] (x, [mm] x_{0}) [/mm] = [mm] \summe_{k=o}^{n} \bruch{f^{(k)}x_{0}}{k!}(x-x_{0})^{k}
[/mm]
d.h. [mm] x_{0} [/mm] ist in meinem Fall 0, und n ist 4!
ich hab jetzt erst versucht die funktion 4 mal ab zu leiten, hab damit aber so meine Probleme! Bracuh ich dies überhaupt? weil die sind etwas kompliziert!
Kann mir jemand helfen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:47 Sa 27.01.2007 | | Autor: | KaiTracid |
Also ich hab jetzt längers versucht die 4 Ableitungen zu bilden was mir nicht gelang! Kann mir da jemand helfen?
auch mit der aufgabe?
Vielen Dank!
|
|
|
| |
|
> Bestimmen sie das Taylerpolynom 4ten Grades der Funktion g
> : x -> sin(2x² + [mm]4x^{4})[/mm] zum Entwicklungspunkt [mm]x_{0}=0.[/mm]
> Also das Taylerpolynom ist ja dies hier: [mm]T_{n}[/mm] (x, [mm]x_{0})[/mm]
> = [mm]\summe_{k=o}^{n} \bruch{f^{(k)}x_{0}}{k!}(x-x_{0})^{k}[/mm]
>
> d.h. [mm]x_{0}[/mm] ist in meinem Fall 0, und n ist 4!
>
> ich hab jetzt erst versucht die funktion 4 mal ab zu
> leiten, hab damit aber so meine Probleme!
Hallo,
ich fürchte, Du brauchst sie.
Leider kann man Dir beim Ableiten schlecht helfen, da man Deine Bemühungen nicht sieht und nicht schauen kann, ob etwas falsch läuft.
Gruß v. Angela
Bracuh ich dies
> überhaupt? weil die sind etwas kompliziert!
>
> Kann mir jemand helfen?
|
|
|
| |
|
also ich hab so angefangen.
f(x) = sin [mm] (2x²+4x^4)
[/mm]
f´(x)=cos ( [mm] 2x²+4x^{4})(4x+16x³)
[/mm]
f´´(x)= -sin ( [mm] 2x²+4x^{4}) [/mm] (4x+16x³)² + cos( [mm] 2x²+4x^{4})(4+48x²)
[/mm]
bei der 3. komm ich dann irgendwie ins schleudern
|
|
|
| |
|
> also ich hab so angefangen.
>
> f(x) = sin [mm](2x²+4x^4)[/mm]
>
> f´(x)=cos ( [mm]2x²+4x^{4})(4x+16x³)[/mm]
>
> f´´(x)= -sin ( [mm]2x²+4x^{4})[/mm] (4x+16x³)² + cos(
> [mm]2x²+4x^{4})(4+48x²)[/mm]
>
> bei der 3. komm ich dann irgendwie ins schleudern
Hallo,
bis hierher sieht es aber richtig aus. Wenn es Dir leichter fällt, kannst Du ja die Klammern auflösen jetzt. Das ist zwar ein bißchen mehr Schreibarbeit, aber man kommt nicht so leicht durcheinander.
Ansonsten: kühlen Kopf bewahren und weitermachen.
Eine andere Möglichkeit wäre noch, von vornherein [mm] sin(2x²+4x^4)=sin(2x^2)cos(4x^4)+cos(2x^2)sin(4x^4) [/mm] zu verwenden,
ob es dadurch behaglicher wird, weiß ich allerdings nicht...
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
also meine 3. Ableitung wäre diese hier:
[mm] cos(2x^{2}+4x^{4})(4x+16x^{3})^{3} [/mm] - sin [mm] (2x^{2}+4x^{4}) *2(4x+16x^3)(4+48x^2) [/mm] - sin [mm] 2x^{2}+4x^{4})(4x+16x^{3}) (4+48x^2) [/mm] + cos [mm] (2^x²+4x^4)(96x) [/mm]
stimmt die so?
|
|
|
| |
|
Wenn ich nicht wirr bin, muß am Anfang ein Minus stehen.
Ich würde im übrigen die Faktoren den sin und cos voranstellen, dann muß man nicht überlegen, was Faktor und was Argument ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
wie macht man denn dann weiter wenn man die 4 ableitungen hat? dann muss ich doch schauen welcher wert herauskommt, wenn man x=0 einsetzt oder?!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:16 Sa 27.01.2007 | | Autor: | KaiTracid |
also ich mein ich schau ja jetzt was rauskommt für x=0?!
also f(0) = 0
bei f´(0) hab ich dann aber schon ein Problem...cos(0) ist ja 1 aber es wird ja dann noch mit 0 multipliziert! d.h. es kommt wieder null raus! genauso bei den anderen ableitungen! oder mach ich da was falsch?
|
|
|
| |
|
> also ich mein ich schau ja jetzt was rauskommt für x=0?!
>
> also f(0) = 0
> bei f´(0) hab ich dann aber schon ein Problem...cos(0) ist
> ja 1 aber es wird ja dann noch mit 0 multipliziert! d.h. es
> kommt wieder null raus! genauso bei den anderen
> ableitungen! oder mach ich da was falsch?
Also, erstens muß man damit rechnen, daß mal Null herauskommst, und zweitens stimmt dies bei der zweiten Ableitung nicht:
f''(0)=-sin (0) (0)² + 4cos(0)
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> wie macht man denn dann weiter wenn man die 4 ableitungen
> hat? dann muss ich doch schauen welcher wert herauskommt,
> wenn man x=0 einsetzt oder?!
Ja.
|
|
|
| |
|
aber da kommt doch irgendwie bei allen 0 raus?!
|
|
|
| |
|
> aber da kommt doch irgendwie bei allen 0 raus?!
s. meine Mitteilung: bei f'' nicht.
Wenn Du schließlich das Taylorpolynom 4. Grades ermittelt hast, könntest Du mal folgendes tun, was ich eben getan habe, und was mir Freude bereitet hat:
besinne Dich darauf, daß Du die Funktion in Nullpunkt entwickelst, also im Bereich des Nullpunktes durch das Taylorpolynom annähern möchtest.
Und dann plotte einmal [mm] sin(4x^4+2x^2) [/mm] und das gefundene Polynon ins selbe Koordinatensystem, zwischen -1 und 1 oder so.
Gruß v. Angela
P.S.: nicht vergessen, daß die Ableitungen noch durch n! dividiert werden müssen!
|
|
|
| |
|
s. meine Mitteilung: bei f'' nicht.
---> hatte ich übersehen! sorry!
also hab jetzt mal folgendes raus: f(0)=0 , f´(0)=0, f´´(0) = 4 , f´´´(0)=0
f´´´´(0)=84 wobei ich mir beim letzten nicht sicher bin ob die ganze ableitung stimmt!
also das ganze müsste doch dann so lauten:
[mm] 0+\bruch{0}{1}+\bruch{4}{2}+\bruch{0}{6}\bruch{84}{24}
[/mm]
wäre das so richtig?
Auch schon mal vielen Dank für die Hilfe!
|
|
|
| |
|
> s. meine Mitteilung: bei f'' nicht.
>
> ---> hatte ich übersehen! sorry!
>
> also hab jetzt mal folgendes raus: f(0)=0 , f´(0)=0, f´´(0)
> = 4 , f´´´(0)=0
> f´´´´(0)=84 wobei ich mir beim letzten nicht sicher bin ob
> die ganze ableitung stimmt!
Hallo,
die 4.Ableitung habe ich nicht mehr berechnet, und ich werde das auch nicht tun. Gehen wir doch einfach zunächst davon aus, daß sie richtig ist.
>
> also das ganze müsste doch dann so lauten:
>
> [mm]0+\bruch{0}{1}+\bruch{4}{2}+\bruch{0}{6}\bruch{84}{24}[/mm]
>
> wäre das so richtig?
Nein.
Duschriebst doch selbst in Deinem ersten Post:$ [mm] T_{n} [/mm] $ (x, $ [mm] x_{0}) [/mm] $ = $ [mm] \summe_{k=o}^{n} \bruch{f^{(k)}x_{0}}{k!}(x-x_{0})^{k} [/mm] $,
also ist
$ [mm] T_{4} [/mm] $ (x, $ 0) $ = $ [mm] \summe_{k=o}^{4} \bruch{f^{(k)}(0)}{k!}(x-0)^{k} [/mm] $.
Irgendwo muß ja auch dei Bezeichnung POLYNOM seinen Grund haben...
Ich habe das Polynom mit Deinen Werten geplottet, und es sieht gut aus.
Unbedingt machen!
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:00 Sa 27.01.2007 | | Autor: | KaiTracid |
jepp klar, die hatte ich grad noch vergessen gehabt mit hin zu schreiben!
Vielen Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:03 Sa 27.01.2007 | | Autor: | KaiTracid |
also raus habe ich dann: 2x² + [mm] 3,5x^{4}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:10 Mi 31.01.2007 | | Autor: | mishko |
I dont speak German very well so in English. I have to make taylor polynom for x=0 and n=9 from function [mm] (1-x^3)^{1/4}
[/mm]
Can someone help with it?
|
|
|
| |
|
> I dont speak German very well so in English. I have to make
> taylor polynom for x=0 and n=9 from function [mm](1-x^3)^{1/4}[/mm]
> Can someone help with it?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
I've lost a lot of my English but I'll do my very best.
At first you you should inform yourself about what to do for building a Taylor polynomial.
It's written ![[]](/images/popup.gif) here
Your function f ist [mm] f(x):=(1-x^3)^{1/4}.
[/mm]
[mm] f^{(n)} [/mm] in the formula means: the [mm] n^{th} [/mm] derivative of yor funktion f.
So you see, for the nineth Taylorpolynomial you nedd the first 9 derivations. You have to differentiate a lot...
You need them at the place x=0, because
you shall do Taylor für x=0. (At every place in the formula, where you have an "a", you have change it bei 0)
I think you should be able for first steps now.
If there are any questions: ask.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
