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Taylor Entwicklung: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	15:16 So 23.11.2008
Autor:	Marry2605

Aufgabe

 Berechnen sie das Taylor Polynom vom Grad 3 an dem angegebenen Entwicklungspunkt x0:

[mm] \bruch{x^2}{x^2+1} [/mm] mit x0 = 0

Das ganze sollte dann ja so aussehen

f(x0) + [mm] \bruch{f1(x0)}{1!}(x-x0) [/mm] + [mm] \bruch{f2(x0)}{2!}(x-x0)² [/mm] + [mm] \bruch{f3(x0)}{3!}(x-x0)³ [/mm]

Wenn ich es dann einsetze komme ich auf
f(x0) = 0

Erste Ableitung :

[mm] \bruch{2x}{x^4+2x^2+1} [/mm]

[mm] \bruch{f1(x0)}{1!}(x-x0) [/mm] = 0

2. Ableitung :
[mm] \bruch{-2x^4+8x^3+4x^2+8x+2}{(x^4+2x^2+1)²} [/mm]

Für
[mm] \bruch{f2(x0)}{2!}(x-x0)² [/mm]
erhalte ich dann
[mm] \bruch{2}{2!}(x-0)² [/mm]

bin ich auf dem richtigen weg? Die 3. Ableitung fehlt jetzt ja noch um das Taylor Polynom 3. Grades zu berechnen...

LG

Bezug

Taylor Entwicklung: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	15:53 So 23.11.2008
Autor:	schachuzipus

Hallo Maria,

> Berechnen sie das Taylor Polynom vom Grad 3 an dem
> angegebenen Entwicklungspunkt x0:
>  [mm]\bruch{x^2}{x^2+1}[/mm] mit x0 = 0
>  Das ganze sollte dann ja so aussehen
>
> f(x0) + [mm]\bruch{f1(x0)}{1!}(x-x0)[/mm] +
> [mm]\bruch{f2(x0)}{2!}(x-x0)²[/mm] + [mm]\bruch{f3(x0)}{3!}(x-x0)³[/mm]

>
> Wenn ich es dann einsetze komme ich auf
>  f(x0) = 0
>
> Erste Ableitung :
>
> [mm]\bruch{2x}{x^4+2x^2+1}[/mm]

Multipliziere den Nenner bitte nicht aus, da kommst du bei den weitern Ableitungen in Teufels Küche, schreibe besser [mm] $(x^2+1)^2$ [/mm]

>
> [mm]\bruch{f1(x0)}{1!}(x-x0)[/mm] = 0

[mm] $=\frac{f'(0)}{1!}\cdot{}x^1=0$ [/mm]

>
> 2. Ableitung :
> [mm]\bruch{-2x^4+8x^3+4x^2+8x+2}{(x^4+2x^2+1)²}[/mm]

da geht's schon los, ich erhalte [mm] $f''(x)=\frac{2(1-3x^2)}{(x^2+1)^3}$ [/mm]

Das gibt dann $f''(0)=2$

>
> Für
> [mm]\bruch{f2(x0)}{2!}(x-x0)²[/mm]
>  erhalte ich dann
>  [mm]\bruch{2}{2!}(x-0)²[/mm]

Das stimmt zwar, aber deine 2.Ableitung ist trotzdem falsch, rechne nochmal nach, sonst wirst du bei der 3.Ableitung verrückt ;-)

>
> bin ich auf dem richtigen weg? Die 3. Ableitung fehlt jetzt
> ja noch um das Taylor Polynom 3. Grades zu berechnen...
>
> LG

Gruß

schachuzipus