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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:03 Mo 16.07.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | | Bestimme die Taylorentwicklung der Funktion [mm] f(0,\infty)^2\to\IR,(x,y)\mapsto\bruch{x-y}{x+y} [/mm] im Punkt (1,1) bis einschließlich den Gliedern 2. Ordnung. |
Hi,
ich habe folgendes berechnet:
[mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}=\bruch{2y}{(x+y)^2}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial y}=\bruch{-2x}{(x+y)^2}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2}=\bruch{-4y}{(x+y)^3}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 f(x,y)}{\partial x \partial y}=\bruch{2x-2y}{(x+y)^3}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2}=\bruch{4x}{(x+y)^3}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 f(x,y)}{\partial y \partial x}=\bruch{2x-2y}{(x+y)^3}
[/mm]
Mal davon ausgehend, dass ich mich nicht verrechnet habe, wie bilde ich allgemein das Taylorpolynom bei mehreren Veränderlichen und speziell in diesem Fall?
MfG
barsch
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> Bestimme die Taylorentwicklung der Funktion
> [mm]f(0,\infty)^2\to\IR,(x,y)\mapsto\bruch{x-y}{x+y}[/mm] im Punkt
> (1,1) bis einschließlich den Gliedern 2. Ordnung.
> Hi,
>
> ich habe folgendes berechnet:
>
> [mm]\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}=\bruch{2y}{(x+y)^2}[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{\partial f(x,y)}{\partial y}=\bruch{-2x}{(x+y)^2}[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2}=\bruch{-4y}{(x+y)^3}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial^2 f(x,y)}{\partial x \partial y}=\bruch{2x-2y}{(x+y)^3}[/mm]
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> [mm]\bruch{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2}=\bruch{4x}{(x+y)^3}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial^2 f(x,y)}{\partial y \partial x}=\bruch{2x-2y}{(x+y)^3}[/mm]
>
> Mal davon ausgehend, dass ich mich nicht verrechnet habe,
> wie bilde ich allgemein
Das lass ich mal bleiben: denn für eine prägnante Formulierung des allgemeinen Falles benötigt man einige Konventionen der Schreibweise, die ich hier nicht alle einführen mag.
> das Taylorpolynom bei mehreren
> Veränderlichen und speziell in diesem Fall?
In diesem Fall bis zu den Gliedern 2. Ordnung etwa so:
[mm]f(1,1)+\frac{1}{1!}\left[f_x(1,1)\cdot (x-x_0)+f_y(1,1)\cdot (y-y_0)\right]+\frac{1}{2!}\left[f_{xx}(1,1)\cdot (x-x_0)^2+f_{xy}(1,1)\cdot(x-x_0)(y-y_0)+f_{yx}(1,1)\cdot (y-y_0)(x-x_0)+f_{yy}(1,1)\cdot (y-y_0)^2\right][/mm]
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