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| Aufgabe | Aufgabe E:
Bestimmen Sie zu a [mm] \in \IC \setminus \{0\} [/mm] den größten Radius R [mm] \in (0|\infty) \cup \{\infty\} [/mm] für den sich die Abbildung [mm] u:\IR \to \IC [/mm] definiert durch
[mm] u(t)=\begin{cases} \bruch{1-e^{-t}}{t} & \mbox{für } t \not= \mbox{0} \\ 1 & \mbox{für } t = \mbox{0}(sonst) \end{cases} [/mm] (t [mm] \in \IR)
[/mm]
auf [mm] (-\IR|\IR) [/mm] durch eine konvergente Taylorreihe mit Entwicklungspunkt Null darstellen läßt und geben Sie die Taylorentwicklung explizit an!
Begründen Sie, dass im Falle der Zulässigkeit von [mm] \sigma [/mm] * u die Laplace-Transformierte U := [mm] L(\sigma [/mm] * u) für se [mm] \in \IC, [/mm] Re(s) > 1 in Gestalt der nachstehenden konvergenten Reihe dargestellt werden kann:
U(s) = [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k} [/mm] * [mm] \bruch{1}{s^k}
[/mm]
Hinweis: Verwenden Sie bei der Begründung der Konvergenz die nach Vorlesung bekannte konvergente Potenzreihe
F(z) := [mm] -\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{z^{k}}{k} [/mm] (z [mm] \in \IC, [/mm] |z|<1)
sowie die Feststellung, dass offenbar U(s) = [mm] F(\bruch{-1}{s}) [/mm] gilt !
Lösungsweg:
für z [mm] \in \IR [/mm] gilt [mm] e^{z} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty} \bruch{z^{k}}{k!}
[/mm]
damit gilt
[mm] \bruch{1-e^{-t}}{t} [/mm] = u(t) = [mm] \bruch{1}{t} [/mm] * (1 - [mm] \underbrace{\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{(-t)^{k}}{k!}}_{=\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{k!} * t^{k}})
[/mm]
... = [mm] \bruch{1}{t} [/mm] (1 + ( - 1 - [mm] \underbrace{\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{k!} * t^{k}}_{\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k!} * t^{k}})) [/mm] <- vgl. Aufgabenstellung
[mm] =\bruch{1}{t}\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k!} [/mm] * [mm] t^{k} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k!} [/mm] * [mm] t^{k-1}
[/mm]
= [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k} [/mm] * [mm] \bruch{t^{k-1}}{(k-1)!}*e^{-0*t}
[/mm]
U(s) = [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k} [/mm] * [mm] \bruch{1}{(s + 0)^{k}}
[/mm]
= [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k} [/mm] * [mm] \bruch{1}{s^{k}} [/mm] (vgl. Aufgabe)
Konvergenz
F(z) = [mm] -\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{z^{k}}{k} [/mm] = [mm] -\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{k} [/mm] * [mm] \bruch{1}{s^{k}} [/mm] <- z = [mm] \bruch{-1}{s}
[/mm]
= [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k} [/mm] * [mm] \bruch{1}{s^{k}} [/mm] = U(s) passt !
Randbed |z| < 1
[mm] |\bruch{-1}{s}| [/mm] = [mm] \bruch{|-1|}{|s|} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{Re^{2}(s) + Im^{2}(s)}} [/mm] < 1 <- Re(s) > 1 |
Zu meine/n Frage/n:
1)
Zuerst wie kommt der jenige auf 1 + - 1 ?
Es hat etwas mit der Reihe zu tun denke ich da jetzt k = 1 ist und nicht wie davor k = 0 aber was passiert in dieser Zeile ?
2)
Woher kommt das [mm] e^{-0t} [/mm] her und was ist mit der Fakultät im Nenner passiert. Davor k! jetzt (k-1)!
3)
Ich weiss das ich den Teil rechts vom mal Zeichen der Reihe in die Form [mm] \bruch{1}{s} [/mm] bringen muss aber woher das es genau das jetzt gilt ?
Wieder in Zusammenhang mit dem [mm] e^{-0*t}
[/mm]
4)
Woher weiss ich denn das es konvergiert und nicht divergiert und was sagt die Randbed hier aus die Re(s) > 1 ?
Danke für eure Mühe :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Sa 10.12.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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