Taylor-Entwicklung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:36 Mi 01.07.2009 | | Autor: | MaGGuZ |
| Aufgabe | Seien f,g differenzierbar auf R mit f' = g und g' = f, sowie f(0) = 1 und g(0) = 0.
1. Leiten Sie die Taylorreihen von f und g her.
2. Bestimmen Sie deren Konvergenzradien.
3. Zeigen Sie, dass die Taylorreihen gegen f bzw. g konvergieren.
4. Stellen Sie dann einen Zusammenhang zwischen den Potenzreihen von f+g und f−g
und der Exponentialreihe her und drücken Sie f und g explizit durch die Exponentialreihe
aus. |
Hallo liebe Leute,
habe ein Problem mit dieser Aufgabe. Grundsätzlich natürlich mit dem Aufstellen der Reihe an sich, was für die anderen Aufgaben ja notwendig ist.
Also bisher bin ich so weit:
[mm] f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{n}(x_0)}{n!}\cdot{}x^{n}
[/mm]
mit f(0)=0
folgt
[mm] f(x)=0+x+\bruch{1}{3!}x^{3}...
[/mm]
?!
und aus g(0)=1
[mm] g(x)=1+\bruch{1}{2!}\cdot{}x²+\bruch{1}{4!}\cdot{}x^{4}+...
[/mm]
ist das richtig? wenn ja, wie geht es weiter?
Gruß und Dankeschön
Markus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Seien f,g differenzierbar auf R mit f' = g und g' = f,
> sowie f(0) = 1 und g(0) = 0.
> 1. Leiten Sie die Taylorreihen von f und g her.
> 2. Bestimmen Sie deren Konvergenzradien.
> 3. Zeigen Sie, dass die Taylorreihen gegen f bzw. g
> konvergieren.
> 4. Stellen Sie dann einen Zusammenhang zwischen den
> Potenzreihen von f+g und f−g
> und der Exponentialreihe her und drücken Sie f und g
> explizit durch die Exponentialreihe
> aus.
> Hallo liebe Leute,
>
> habe ein Problem mit dieser Aufgabe. Grundsätzlich
> natürlich mit dem Aufstellen der Reihe an sich, was für
> die anderen Aufgaben ja notwendig ist.
>
> Also bisher bin ich so weit:
>
> [mm]f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{n}(x_0)}{n!}\cdot{}x^{n}[/mm]
> mit f(0)=0
> folgt
>
> [mm]f(x)=0+x+\bruch{1}{3!}x^{3}...[/mm]
>
> und aus g(0)=1
>
> [mm]g(x)=1+\bruch{1}{2!}\cdot{}x²+\bruch{1}{4!}\cdot{}x^{4}+...[/mm]
>
> ist das richtig? wenn ja, wie geht es weiter?
Hallo Markus,
wenn du das schon alles hast (ich weiß zwar
nicht ganz genau wie du dies gemacht hast),
ist das ja prima. Die Reihen gehen natürlich
ganz regelmäßig weiter.
Bilde nun einfach die Summe f(x)+g(x) und
die Differenz f(x)-g(x). Dies sollte dich an be-
kannte Reihen erinnern, und dann ist der Rest
ganz einfach !
LG und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]") Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 Do 02.07.2009 | | Autor: | MaGGuZ |
Hallo,
> wenn du das schon alles hast (ich weiß zwar
> nicht ganz genau wie du dies gemacht hast),
> ist das ja prima.
Naja ich bin eher zufällig oder intuitiv drauf gestoßen.
Hab im Buch bei Taylorreihen geblättert und hab die von [mm] e^x [/mm] gesehen und ja im die Vorraussetzungen dieser Aufgabe im Hinterkopf gehabt und gesehen dass z.b. die Ableitung von [mm] \bruch{x^3}{3!} [/mm] = [mm] \bruch{2}{2!} [/mm] ist und hab dann Gedanken weiter verfolgt und mit f(0)=1 und g(0)=0 verbunden. Also eher zufällig... Wie kommt man da systematisch bzw. mathematisch korrekt drauf und schreibt das auf?
> Bilde nun einfach die Summe f(x)+g(x) und
> die Differenz f(x)-g(x).
also
f(x) + g(x) = 0 + 1 + x + [mm] \bruch{x^2}{2!}...
[/mm]
f(x) - g(x) = 0 - 1 + x - [mm] bruch{x^2}{2!} [/mm] ...
na die erste is die Exponentialreihe mit der 0 zusätzlich, dadurch bin ich ja drauf gekommen ^^ die 2. kenn ich nicht
Bei dem Konvergenzradius sagt ja eigentlich schon Aufgabe 3 aus, dass sie überall konvergieren oder?!
Und bei der Aufgabe 3 fehlt mir irgendwie der Ansatz :(
> LG und Al-Chw.
Ja dann sag ich mal an dieser Stelle: Guten Morgen !
Gruß Markus
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>>> Seien f,g differenzierbar auf R mit f' = g und g' = f, sowie f(0) = 1 und g(0) = 0
> Naja ich bin eher zufällig oder intuitiv drauf gestoßen.
Hallo,
ich fürchte, daß deine Chefs nicht geneigt sind, sich auf Deine Intuition zu verlassen.
Du hattest ja eingangs schon geschreiben, daß die gesuchte Taylorreihe die Reihe
[mm] T_f(x)=$ f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{n}(0)}{n!}\cdot{}x^{n} [/mm] $ ist.
Es kommt also darauf an, daß Du die n-ten Ableitungen von f im Punkt x=0 berechnest.
0-te Ableitung: [mm] f^{(0)}=f, f^0(0)=f(0)=1
[/mm]
1-te Ableitung: [mm] f^{(1)}=g, f^{(1)}(0)=g(0)=0
[/mm]
2-te Ableitung: das ist die Ableitung der ersten Ableitung, also ...
usw.
Du wirst eine Regelmäßigkeit entdecken, welche man genaugenommen noch mit Induktion beweisen würde.
Für g entsprechend.
> > Bilde nun einfach die Summe f(x)+g(x) und
> > die Differenz f(x)-g(x).
>
> also
>
> f(x) + g(x) = 0 + 1 + x + [mm]\bruch{x^2}{2!}...[/mm]
>
> f(x) - g(x) = 0 - 1 + x - [mm]bruch{x^2}{2!}[/mm] ...
>
> na die erste is die Exponentialreihe mit der 0 zusätzlich,
also die Exponentialreihe.
> dadurch bin ich ja drauf gekommen ^^ die 2. kenn ich nicht
Kannst Du sie in Summenschreibweise notieren? [mm] \summe_{k=1}^{\infty}...
[/mm]
>
>
> Bei dem Konvergenzradius sagt ja eigentlich schon Aufgabe 3
> aus, dass sie überall konvergieren oder?!
Irgendwie schon...
Aber es könnte ja sein, daß sie gar nicht gegen f und g konvergieren.
Es könnte doch eine Stelle a geben, für welche [mm] T_f(a)\not=f(a) [/mm] ist.
Daß das nicht passiert, ist hier zu zeigen.
> Und bei der Aufgabe 3 fehlt mir irgendwie der Ansatz :(
Kram mal ein bißchen in Deiner Mitschrift.
Ich denke, daß "Restglied" ein gutes Stichwort wäre.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Do 02.07.2009 | | Autor: | MaGGuZ |
Hallo,
> Es kommt also darauf an, daß Du die n-ten Ableitungen von
> f im Punkt x=0 berechnest.
>
> 0-te Ableitung: [mm]f^{(0)}=f, f^0(0)=f(0)=1[/mm]
> 1-te Ableitung:
> [mm]f^{(1)}=g, f^{(1)}(0)=g(0)=0[/mm]
> 2-te Ableitung: das ist die
> Ableitung der ersten Ableitung, also ...
> usw.
>
> Du wirst eine Regelmäßigkeit entdecken, welche man
> genaugenommen noch mit Induktion beweisen würde.
Ja also [mm] f^{(0)}= [/mm] f(0) =1
[mm] f^{(1)}=g(0) [/mm] =0
[mm] f^{(2)}=g^{(1)}=f(0)=1
[/mm]
[mm] f^{(3)}=g^{(2)}=f^{(1)}=g(0)=0 [/mm] ...
[mm] f^{(2n)}=f(0)=1
[/mm]
[mm] f^{(2n+1)}=g(0)=0
[/mm]
analog für g.
das müsste man dann noch induktiv beweisen?
> Kannst Du sie in Summenschreibweise notieren?
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}...[/mm]
ich kanns versuchen
f(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{1+(-1)^n}{2*n!})*x^n
[/mm]
g(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{-1+(-1)^n}{(-2)*n!})*x^n
[/mm]
f(x)+g(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{1}{n!})*x^n
[/mm]
f(x)-g(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{(-1)^n}{n!})*x^n
[/mm]
so, glaub ich, muss man das auch noch irgendwie nachweisen?
> > Bei dem Konvergenzradius sagt ja eigentlich schon Aufgabe 3
> > aus, dass sie überall konvergieren oder?!
>
> Irgendwie schon...
>
> Aber es könnte ja sein, daß sie gar nicht gegen f und g
> konvergieren.
>
> Es könnte doch eine Stelle a geben, für welche
> [mm]T_f(a)\not=f(a)[/mm] ist.
> Daß das nicht passiert, ist hier zu zeigen.
Das heißt ich mach es als Widerspruchsbeweis. Aber ich weiß grad nicht was ich gewinnbringend aus der Annahme [mm]T_f(a)\not=f(a)[/mm] ableiten kann? :(
> Kram mal ein bißchen in Deiner Mitschrift.
> Ich denke, daß "Restglied" ein gutes Stichwort wäre.
meinst du dass wenn [mm] T_f(a)-f(a) [/mm] = 0 dann konvergiert [mm] T_f(a) [/mm] gegen f oder etwas anderes?
zu der 4.:
was bedeutet "Zusammenhang herstellen"? muss man irgendwie herleiten, dass f(x)+g(x) = [mm] e^x [/mm] ist und was ist f(x)-g(x) ?
kann ich f und g durch [mm] e^x [/mm] explizit ausdrücken indem ich sage f(x)= [mm] e^x [/mm] -g(x) und umgekehrt oder wie ist das gemeint?
Gruß Markus
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> Ja also [mm]f^{(0)}=[/mm] f(0) =1
> [mm]f^{(1)}=g(0)[/mm] =0
> [mm]f^{(2)}=g^{(1)}=f(0)=1[/mm]
> [mm]f^{(3)}=g^{(2)}=f^{(1)}=g(0)=0[/mm] ...
> [mm]f^{(2n)}=f(0)=1[/mm]
> [mm]f^{(2n+1)}=g(0)=0[/mm]
>
> analog für g.
>
> das müsste man dann noch induktiv beweisen?
Hallo,
ja.
> > Kannst Du sie in Summenschreibweise notieren?
> > [mm]\summe_{k=1}^{\infty}...[/mm]
>
> ich kanns versuchen
Ich dachte hier nur an
> f(x)-g(x) = [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{(-1)^n}{n!})*x^n[/mm]
Das stimmt noch nicht ganz, oder? Da muß noch ein Minus davor, also
f(x)-g(x) =-[mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{(-1)^n}{n!})*x^n[/mm]
=-[mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{1}{n!})*(-x)^n[/mm]
[mm] =-e^{-x}.
[/mm]
>
> so, glaub ich, muss man das auch noch irgendwie
> nachweisen?
Nö, ich denke, Du kannst Du diesbezüglich auf Dinge berufen, die aus der Vorlesung bekannt sind.
> > Aber es könnte ja sein, daß sie gar nicht gegen f und g
> > konvergieren.
> >
> > Es könnte doch eine Stelle a geben, für welche
> > [mm]T_f(a)\not=f(a)[/mm] ist.
> > Daß das nicht passiert, ist hier zu zeigen.
>
> Das heißt ich mach es als Widerspruchsbeweis.
An sowas hatte ich gerade gar nicht gedacht.
Du hast doch bestimmt Restgliedformeln fürs Taylorrestglied.
Die Taylorreihe konvergiert gegen f(x) <==> [mm] \lim_{n\to \infty}R_n(x) [/mm] =0.
> zu der 4.:
> was bedeutet "Zusammenhang herstellen"? muss man irgendwie
> herleiten, dass f(x)+g(x) = [mm]e^x[/mm] ist und was ist f(x)-g(x) ?
f(x)-g(x) [mm] =-e^{-x}.
[/mm]
> kann ich f und g durch [mm]e^x[/mm] explizit ausdrücken indem ich
> sage f(x)= [mm]e^x[/mm] -g(x) und umgekehrt oder wie ist das
> gemeint?
Du weißt ja nun, daß f(x)-g(x) [mm] =-e^{-x} [/mm] und [mm] f(x)+g(x)=e^x.
[/mm]
Addierst Du die beiden, so kannst Du daraus f(x) gewinnen. Diese Funktion trägt einen eigenen Namen, "man" kennt man sie schon aus der Schule, aber sie wurde gewiß auch in der VL besprochen.
g(x) gewinnst Du, wenn Du f(x)-g(x) und f(x)+g(x) voneinander subtrahierst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Do 02.07.2009 | | Autor: | MaGGuZ |
Hi,
> > Ja also [mm]f^{(0)}=[/mm] f(0) =1
> > [mm]f^{(1)}=g(0)[/mm] =0
> > [mm]f^{(2)}=g^{(1)}=f(0)=1[/mm]
> > [mm]f^{(3)}=g^{(2)}=f^{(1)}=g(0)=0[/mm] ...
> > [mm]f^{(2n)}=f(0)=1[/mm]
> > [mm]f^{(2n+1)}=g(0)=0[/mm]
> >
> > analog für g.
> >
> > das müsste man dann noch induktiv beweisen?
>
> Hallo,
>
> ja.
Na dann versuch ichs mal:
Behauptung [mm] f^{n}(0) [/mm] = [mm] \bruch{(1+(-1)^n)}{2}
[/mm]
Beweis
Induktionsanfang : wahr für n=0
[mm] f^{0}(0) [/mm] = [mm] \bruch{(1+(-1)^0)}{2}
[/mm]
1 = 1
Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung A(n) ist wahr
[mm] f^{n}(0)=\bruch{(1+(-1)^n)}{2}
[/mm]
Induktionsbeweis also sei für n [mm] \in \IN [/mm] A(n+1) auch wahr
[mm] f^{n+1}(0)=\bruch{(1+(-1)^{n+1})}{2}
[/mm]
1. Teil für n gerade
[mm] f^{n+1}(0)=\bruch{(1+(-1)^{n+1})}{2}
[/mm]
[mm] f^{n+1}(0)=\bruch{(1-1)}{2}
[/mm]
[mm] f^{n+1}(0)=0
[/mm]
[mm] f^{n+1}(0)=g(0)
[/mm]
[mm] f^{n+1}(0)=f^{1}(0)
[/mm]
[mm] f^{n+1}(0)=g^{2}(0) [/mm] ... noch n-2 mal
[mm] f^{n+1}(0)=g^{n}(0)
[/mm]
[mm] f^{n+1}(0)=f^{n+1}(0)
[/mm]
an dieser stelle wusst ich nicht genau wie ich das zeigen sol... geht es so oder muss das vorher induktiov gezeigt werden?
für n ungerade analog.
> Das stimmt noch nicht ganz, oder? Da muß noch ein Minus
> davor, also
ja das hatte ich irgendwie übersehen
ich bin mir gerade nicht ganz sicher welche Tipps sich auf 2. und welche auf 3. beziehen als das folgende dürfte doch aufgabe 3 sein? Kann man damit auch gleichzeitig sagen, vorausgesetzt man hat es bewiesen, dass wenn die Taylorreihe gegen f(x) konvergiert, dass der Konvergenzradius dann unendlich sein muss?!... also könnte man sich mit 3. die 2. sparen?!
> An sowas hatte ich gerade gar nicht gedacht.
>
> Du hast doch bestimmt Restgliedformeln fürs
> Taylorrestglied.
>
> Die Taylorreihe konvergiert gegen f(x) <==> [mm]\lim_{n\to\infty}R_n(x)[/mm] =0.
hat dieser Satz einen Namen?
also
[mm] \lim_{n\to\infty}R_n(0)= \lim_{n\to\infty}R_n(0) [/mm] = [mm] \bruch{(f^{n+1}(0) * x^{n+1})}{(n+1)!} \le \bruch{x^{n+1}}{(n+1)!} [/mm] weil 0 [mm] \le f^{n+1} \le [/mm] 1
hier weiß ich momentan nicht weiter obwohl ich weiß, dass n! schneller wächst als [mm] x^n
[/mm]
>
> > zu der 4.:
> > was bedeutet "Zusammenhang herstellen"? muss man
> irgendwie
> > herleiten, dass f(x)+g(x) = [mm]e^x[/mm] ist und was ist f(x)-g(x) ?
>
> f(x)-g(x) [mm]=-e^{-x}.[/mm]
>
> > kann ich f und g durch [mm]e^x[/mm] explizit ausdrücken indem ich
> > sage f(x)= [mm]e^x[/mm] -g(x) und umgekehrt oder wie ist das
> > gemeint?
>
> Du weißt ja nun, daß f(x)-g(x) [mm]=-e^{-x}[/mm] und
> [mm]f(x)+g(x)=e^x.[/mm]
>
> Addierst Du die beiden, so kannst Du daraus f(x) gewinnen.
> Diese Funktion trägt einen eigenen Namen, "man" kennt man
> sie schon aus der Schule, aber sie wurde gewiß auch in der
> VL besprochen.
>
> g(x) gewinnst Du, wenn Du f(x)-g(x) und f(x)+g(x)
> voneinander subtrahierst.
also ist f(x)= [mm] \bruch{( e^x-e^{-x}
)}{2}
[/mm]
und [mm] g(x)=\bruch{(e^{-x} + e^x
)}{2}
[/mm]
hab rausgefunden dass also
f(x)=sinh (x) ist und
g(x)=cosh (x) ist
hatten wir zwar nicht in der schule, dafür aber umso interessanter
!!!! Nachtrag: Eine Antwort würde mir auch bis morgen (Freitag) früh also so ca. bis um 10 was bringen (kanns nur nicht mehr ändern?!), wäre schön wenn das noch klappen würde, wenn nicht bedanke ich mich trotzdem für den Weg bis hierher.
Gruß Markus
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> Hi,
>
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> > > Ja also [mm]f^{(0)}=[/mm] f(0) =1
> > > [mm]f^{(1)}=g(0)[/mm] =0
> > > [mm]f^{(2)}=g^{(1)}=f(0)=1[/mm]
> > > [mm]f^{(3)}=g^{(2)}=f^{(1)}=g(0)=0[/mm] ...
> > > [mm]f^{(2n)}=f(0)=1[/mm]
> > > [mm]f^{(2n+1)}=g(0)=0[/mm]
> > >
> > > analog für g.
> > >
> > > das müsste man dann noch induktiv beweisen?
> >
> > Hallo,
> >
> > ja.
>
> Na dann versuch ichs mal:
>
> Behauptung [mm]f^{n}(0)[/mm] = [mm]\bruch{(1+(-1)^n)}{2}[/mm]
Hallo,
[mm] f^{(n)}(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
wäre gehirnschonender.
Dein Induktionsbeweis ist irgendwie nicht so recht einer.
> Beweis
Hierzu wäre es sinnig zu zeigen, daß [mm] f^{(2n)}=f [/mm] und [mm] f^{(2N+1)}=G [/mm] ist, woraus sich die Funktionswerte ergeben.
Dasselbe dann noch für die Ableitungen von g.
> ich bin mir gerade nicht ganz sicher welche Tipps sich auf
> 2. und welche auf 3. beziehen als das folgende dürfte doch
> aufgabe 3 sein?
Ja, über Konvergenzradius hattest Du ja bisher noch nicht großartig gesprochen.
> Kann man damit auch gleichzeitig sagen,
> vorausgesetzt man hat es bewiesen, dass wenn die
> Taylorreihe gegen f(x) konvergiert, dass der
> Konvergenzradius dann unendlich sein muss?!... also könnte
> man sich mit 3. die 2. sparen?!
Hm. Ja, wenn Du weißt, daß sie für jedes x gegen f(x) konvergert, brauchst Du den Radius nicht mehr extra auszurechnen, wurde ich sagen.
Allerdings bekommt man den Kovergenzradius ja oft recht billig, und es ist eine Hilfe, wenn man die Bereiche kennt, in denen die Reihe nicht konvergiert.
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>
> > An sowas hatte ich gerade gar nicht gedacht.
> >
> > Du hast doch bestimmt Restgliedformeln fürs
> > Taylorrestglied.
> >
> > Die Taylorreihe konvergiert gegen f(x) <==>
> [mm]\lim_{n\to\infty}R_n(x)[/mm] =0.
>
> hat dieser Satz einen Namen?
Nein. Der kommt aus dem gesunden Menschenverstand:
wenn f=lim [mm] T_f,
[/mm]
Dann ist lim [mm] R_n=lim T_f [/mm] - f=0
>
> also
>
[mm] >\lim_{n\to\infty}R_n(0)
[/mm]
Man interessiert sich hier aber nicht für den Rest an der Stelle 0, sondern an der Stelle x.
Du hast das Restglied auch nicht richtig wiedergegeben.
= [mm] \lim_{n\to\infty}R_n(0)= [/mm]
> [mm]\bruch{(f^{n+1}(0) * x^{n+1})}{(n+1)!} \le \bruch{x^{n+1}}{(n+1)!}[/mm]
> weil 0 [mm]\le f^{n+1} \le[/mm] 1
>
> hier weiß ich momentan nicht weiter obwohl ich weiß, dass
> n! schneller wächst als [mm]x^n[/mm]
>
> hab rausgefunden dass also
>
> f(x)=sinh (x) ist und
> g(x)=cosh (x) ist
> hatten wir zwar nicht in der schule, dafür aber umso
> interessanter
Ja, genau.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:23 Fr 03.07.2009 | | Autor: | MaGGuZ |
Guten Morgen,
> Hierzu wäre es sinnig zu zeigen, daß [mm]f^{(2n)}=f[/mm] und
> [mm]f^{(2N+1)}=G[/mm] ist, woraus sich die Funktionswerte ergeben.
>
> Dasselbe dann noch für die Ableitungen von g.
würde es so gehen? :
IA: [mm] f^{2*0}=f(0)=1
[/mm]
[mm] f^{2*0+1}=f^{1}=g(0)=0
[/mm]
IV: [mm] f^{2n}=f
[/mm]
[mm] f^{2n+1}=g
[/mm]
IS: [mm] f^{2(n+1)}=f^{2n+2}=g^{2n+1}=f^{2n}=g [/mm] (nach IV
[mm] f^{2(n+1)+1}=f^{2n+3}=g^{2n+2}=f^{2n+1}=g
[/mm]
> Ja, über Konvergenzradius hattest Du ja bisher noch nicht
> großartig gesprochen.
Also für f(x) würde ich sagen
ist ja [mm] f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{1+(-1)^n}{2\cdot{}n!})\cdot{}x^n [/mm] schon in der Form [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(a_n)\cdot{}x^n
[/mm]
also ist
r = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_n+1}| [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{\bruch{1+(-1)^n}{2\cdot{}n!}}{\bruch{1+(-1)^{n+1}}{2\cdot{}(n+1)!}}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(1+(-1)^n}{2*n!}*\bruch{2*(n+1)!}{1+(-1)^{n+1}}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(1+(-1)^n}{1+(-1)^{n+1}}*\bruch{2*(n+1)!}{2*n!}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(1+(-1)^n}{1+(-1)^{n+1}}*\bruch{2*n!*(n+1)}{2*n!}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(1+(-1)^n}{1+(-1)^{n+1}}*(n+1)|=|\bruch{(1+(-1)^n}{1+(-1)^{n+1}}|*(n+1)=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|(1+(-1)^n|}{|1+(-1)^{n+1}|}*(n+1)=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|(1|+|(-1)^n|}{|1|+|(-1)^{n+1}|}*(n+1)=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{2}*(n+1)=\limes_{n\rightarrow\infty}n+1= \infty
[/mm]
also konvergiert f(x), wie vermutet, überall ?!ist das richtig?
> > also
> >
> [mm]>\lim_{n\to\infty}R_n(0)[/mm]
>
> Man interessiert sich hier aber nicht für den Rest an der
> Stelle 0, sondern an der Stelle x.
> Du hast das Restglied auch nicht richtig wiedergegeben.
>
> = [mm]\lim_{n\to\infty}R_n(0)=[/mm]
> > [mm]\bruch{(f^{n+1}(0) * x^{n+1})}{(n+1)!} \le \bruch{x^{n+1}}{(n+1)!}[/mm]
> > weil 0 [mm]\le f^{n+1} \le[/mm] 1
also das Restglied ist [mm] R_n(x) [/mm] = [mm] \bruch{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}*(x-a)^{n+1}
[/mm]
also in unserem fall
[mm] R_n(x) [/mm] = [mm] \bruch{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}*(x-0)^{n+1}=R_n(x) [/mm] = [mm] \bruch{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}*(x)^{n+1} [/mm]
was könnte ich dann tun? muss ich wieder nach n gerade / ungerade unterscheiden?
> > hab rausgefunden dass also
> >
> > f(x)=sinh (x) ist und
> > g(x)=cosh (x) ist
> > hatten wir zwar nicht in der schule, dafür aber umso
> > interessanter
>
> Ja, genau.
Ist damit alles in Aufgabe 4 erfüllt?
Gruß Markus
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> Guten Morgen,
>
>
>
>
> > Hierzu wäre es sinnig zu zeigen, daß [mm]f^{(2n)}=f[/mm] und
> > [mm]f^{(2N+1)}=G[/mm] ist, woraus sich die Funktionswerte ergeben.
> >
> > Dasselbe dann noch für die Ableitungen von g.
>
> würde es so gehen? :
> IA: [mm]f^{2*0}=
=f
und n.V. ist
> f(0)=1[/mm]
> [mm]f^{2*0+1}=f^{1}=g(0)=0[/mm]
Hier entsprechend.
> IV: [mm]f^{2n}=f[/mm]
> [mm]f^{2n+1}=g[/mm]
> IS: [mm]f^{2(n+1)}=f^{2n+2}=
=(f^{(2n+1)})'= (I.V.) g' = ???
Bei den ungeraden entsprechend.
> g^{2n+1}=f^{2n}=g[/mm] (nach IV
> [mm]f^{2(n+1)+1}=f^{2n+3}=g^{2n+2}=f^{2n+1}=g[/mm]
>
>
> > Ja, über Konvergenzradius hattest Du ja bisher noch nicht
> > großartig gesprochen.
>
> Also für f(x) würde ich sagen
>
> ist ja
> [mm]f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{1+(-1)^n}{2\cdot{}n!})\cdot{}x^n[/mm]
> schon in der Form [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(a_n)\cdot{}x^n[/mm]
>
> also ist
>
> r = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|[/mm]
Ich bin skeptisch. Du dividierst hier durch 0.
Entweder mußt Du hier einen kleinen Trick anwenden, [mm] f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}...y^n [/mm] mit [mm] y:=x^2,
[/mm]
oder zu Cauchy-Hadamard greifen.
=
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{\bruch{1+(-1)^n}{2\cdot{}n!}}{\bruch{1+(-1)^{n+1}}{2\cdot{}(n+1)!}}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(1+(-1)^n}{2*n!}*\bruch{2*(n+1)!}{1+(-1)^{n+1}}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(1+(-1)^n}{1+(-1)^{n+1}}*\bruch{2*(n+1)!}{2*n!}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(1+(-1)^n}{1+(-1)^{n+1}}*\bruch{2*n!*(n+1)}{2*n!}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(1+(-1)^n}{1+(-1)^{n+1}}*(n+1)|=|\bruch{(1+(-1)^n}{1+(-1)^{n+1}}|*(n+1)=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|(1+(-1)^n|}{|1+(-1)^{n+1}|}*(n+1)=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|(1|+|(-1)^n|}{|1|+|(-1)^{n+1}|}*(n+1)=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{2}*(n+1)=\limes_{n\rightarrow\infty}n+1= \infty[/mm]
>
> also konvergiert f(x), wie vermutet, überall ?!ist das
> richtig?
Das Ergebnis ist richtig.
>
>
> > > also
> > >
> > [mm]>\lim_{n\to\infty}R_n(0)[/mm]
> >
> > Man interessiert sich hier aber nicht für den Rest an der
> > Stelle 0, sondern an der Stelle x.
> > Du hast das Restglied auch nicht richtig
> wiedergegeben.
> >
> > = [mm]\lim_{n\to\infty}R_n(0)=[/mm]
> > > [mm]\bruch{(f^{n+1}(0) * x^{n+1})}{(n+1)!} \le \bruch{x^{n+1}}{(n+1)!}[/mm]
> > > weil 0 [mm]\le f^{n+1} \le[/mm] 1
>
> also das Restglied ist [mm]R_n(x)[/mm] =
> [mm]\bruch{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}*(x-a)^{n+1}[/mm]
> also in unserem fall
> [mm]R_n(x)[/mm] = [mm]\bruch{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}*(x-0)^{n+1}=R_n(x)[/mm] =
> [mm]\bruch{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}*(x)^{n+1}[/mm]
> was könnte ich dann tun? muss ich wieder nach n gerade /
> ungerade unterscheiden?
Just zur Minute fehlt mir die zündende Idee - das heißt aber nicht, daß es schwer ist.
Vielleicht schreibt man den Rest doch lieber als Reihenrest hin?
Müßte ich mal drüber nachdenken...
Aber die Deadline naht bedrohlich. So schnell bin ich nicht.
>
> > > hab rausgefunden dass also
> > >
> > > f(x)=sinh (x) ist und
> > > g(x)=cosh (x) ist
> > > hatten wir zwar nicht in der schule, dafür aber umso
> > > interessanter
> >
> > Ja, genau.
>
> Ist damit alles in Aufgabe 4 erfüllt?
Das, was ich mir unter Aufgabe 4 vorgestellt habe, ist getan. Die Fantasien Deiner Chefs kenne ich nicht.
Gruß v. Angela
>
> Gruß Markus
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:01 Fr 03.07.2009 | | Autor: | MaGGuZ |
Hallo,
> > IA: [mm][mm] f^{2*0}=
[/mm]
=f
und n.V. ist
wofür steht n.V.?
> > r = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|[/mm]
>
> Ich bin skeptisch. Du dividierst hier durch 0.
aber nur zur Hälfte?! Das ist schade ... hatte mich sehr gefreut, dass das geklappt hat
> Entweder mußt Du hier einen kleinen Trick anwenden,
> [mm]f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}...y^n[/mm] mit [mm]y:=x^2,[/mm]
>
> oder zu Cauchy-Hadamard greifen.
Cauchy-Hadamard hab ich probiert aber da gibt es viel Probleme...
> > > Man interessiert sich hier aber nicht für den Rest an der
> > > Stelle 0, sondern an der Stelle x.
> > > Du hast das Restglied auch nicht richtig
> > wiedergegeben.
> > >
> > > = [mm]\lim_{n\to\infty}R_n(0)=[/mm]
> > > > [mm]\bruch{(f^{n+1}(0) * x^{n+1})}{(n+1)!} \le \bruch{x^{n+1}}{(n+1)!}[/mm]
> > > > weil 0 [mm]\le f^{n+1} \le[/mm] 1
> >
> > also das Restglied ist [mm]R_n(x)[/mm] =
> > [mm]\bruch{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}*(x-a)^{n+1}[/mm]
> > also in unserem fall
> > [mm]R_n(x)[/mm] =
> [mm]\bruch{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}*(x-0)^{n+1}=R_n(x)[/mm] =
> > [mm]\bruch{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}*(x)^{n+1}[/mm]
> > was könnte ich dann tun? muss ich wieder nach n gerade /
> > ungerade unterscheiden?
>
> Just zur Minute fehlt mir die zündende Idee - das heißt
> aber nicht, daß es schwer ist.
> Vielleicht schreibt man den Rest doch lieber als
> Reihenrest hin?
> Müßte ich mal drüber nachdenken...
> Aber die Deadline naht bedrohlich. So schnell bin ich
> nicht.
Naja ich hoffe, dass ein wenig Karenzzeit drin ist, mit dieser Aufgabe steht und fällt sowieso alles. Ich probier die ganze Zeit drauf zu kommen, würde mein Wochenende retten wenn da noch was rauszuholen ist.
Gruß Markus
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> Hallo,
>
> > > IA: [mm][mm]f^{2*0}=[/mm]
=f
und n.V. ist
wofür steht n.V.?
Hallo,
"nach Voraussetzung".
> > r = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|[/mm]
>
> Ich bin skeptisch. Du dividierst hier durch 0.
aber nur zur Hälfte?! Das ist schade ... hatte mich sehr gefreut, dass das geklappt hat
> Entweder mußt Du hier einen kleinen Trick anwenden,
> [mm]f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}...y^n[/mm] mit [mm]y:=x^2,[/mm]
>
> oder zu Cauchy-Hadamard greifen.
Cauchy-Hadamard hab ich probiert aber da gibt es viel Probleme...
Es ist doch hierfür limsup [mm] \wurzel[n]{\bruch{1}{(2n+1)!}} [/mm] zu berechnen, eventuell kannst du auf etwas zurückgreifen, was Ihr schon hattet, ansonsten schreib halt einfach ...=0.
Der Trick:
[mm] T_f(x)=x+\bruch{1}{3!}x^{3}... =x*(1+\bruch{1}{3!}x^{2} +\bruch{1}{5!}x^{4}+...)=x*\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{(2n+1)!}(x^2)^n
[/mm]
Nun rechnest Du den Konvergenzradius für die Reihe mit [mm] y:=x^2 [/mm] aus mit dem Quot.krit. Es konvergiert die Reihe für [mm] |y|<\infty, [/mm] und wegen [mm] y=x^2 [/mm] konvergiert sie daher für [mm] |x|<\infty.
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:39 Fr 03.07.2009 | | Autor: | MaGGuZ |
Hallo,
nochmals vielen Dank Angela für deine Ausdauernde Hilfe!
Ich glaub ich hab die mit dem Restglied auch richtig gelöst...
Ich wünsche ein schönes Wochenende.
Gruß Markus
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