Tangentialvektor < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 Do 13.03.2014 | | Autor: | Kueken |
Hallo,
wieder mal eine Frage und zwar zum Satz Transformationsregel für Tangentialvektoren.
Vielleicht bevor der Satz kommt die Definitionen.
1. Tangeltialvektor: Ein Tangentialvektor an M bei $p [mm] \in [/mm] M$ ist eine Äquivalenzklasse von Kurven durch p bzgl. der Relation:
[mm] $c_{1} [/mm] ~ [mm] c_{2}$ [/mm] gdw. Eine Karte [mm] $(x,U)\in \mathcal{A}$ [/mm] existiert, so dass $p [mm] \in [/mm] U [mm] \wedge \bruch{d}{dt} [/mm] (x [mm] \circ c_{1})|_{0} [/mm] = [mm] \bruch{d}{dt} [/mm] (x [mm] \circ c_{2})|_{0} \in \IR^{n}$
[/mm]
2.Hauptteil: Sei $(M, [mm] \mathcal{A})$ [/mm] n- dimensionale Mannigfaltigkeit und [mm] $p\in [/mm] M$. Für eine Karte $(x,U) [mm] \in \mathcal{A}$ [/mm] mit $p [mm] \in [/mm] U$ nennen wir:
[mm] $\xi [/mm] := [mm] \bruch{d}{dt}(x \circ [/mm] c ) [mm] |_{t=0} \in \IR^{n}$ [/mm] den Hauptteil des Tangentialvektors $[c] [mm] \in [/mm] TpM$ bzgl der Karte $(x,U)$.
(TpM ist der Tangentialraum)
Und nun der Satz:
Seien $(x,U)$, $(y,V)$ Karten um $p [mm] \in [/mm] M$ für eine differenzierbare Mannigfaltigkeit $(M, [mm] \mathcal{A})$. [/mm] Für [mm] $\upsilon \in [/mm] TpM$ seien [mm] $\xi$ [/mm] und [mm] $\eta$ [/mm] die Hauptteile bzgl. x bzw. y. Dann gilt:
[mm] $\eta [/mm] = d(y [mm] \circ x^{-1})_{x(p)} \xi$.
[/mm]
Also ich habe ein immenses Problem mir das vorzustellen. HAb schon versucht alles aufzumalen, aber dabei ist mir klar geworden, dass ich überhaupt nicht verstanden habe was der Hauptteil ist.
Dazu wird mir auch nicht klar wieso die Aussage des Satzes stimmt. Das müsste doch eigentlich möglich sein, das auch anschaulich zu verstehen. Soweit ich weiß, ist das ja auch ein Thema, dass die Physik betrifft.
Vielen Dank und Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Do 13.03.2014 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
>
> wieder mal eine Frage und zwar zum Satz
> Transformationsregel für Tangentialvektoren.
>
> Vielleicht bevor der Satz kommt die Definitionen.
>
> 1. Tangeltialvektor: Ein Tangentialvektor an M bei [mm]p \in M[/mm]
> ist eine Äquivalenzklasse von Kurven durch p bzgl. der
> Relation:
> [mm]c_{1} ~ c_{2}[/mm] gdw. Eine Karte [mm](x,U)\in \mathcal{A}[/mm]
> existiert, so dass [mm]p \in U \wedge \bruch{d}{dt} (x \circ c_{1})|_{0} = \bruch{d}{dt} (x \circ c_{2})|_{0} \in \IR^{n}[/mm]
>
> 2.Hauptteil: Sei [mm](M, \mathcal{A})[/mm] n- dimensionale
> Mannigfaltigkeit und [mm]p\in M[/mm]. Für eine Karte [mm](x,U) \in \mathcal{A}[/mm]
> mit [mm]p \in U[/mm] nennen wir:
> [mm]\xi := \bruch{d}{dt}(x \circ c ) |_{t=0} \in \IR^{n}[/mm] den
> Hauptteil des Tangentialvektors [mm][c] \in TpM[/mm] bzgl der Karte
> [mm](x,U)[/mm].
>
> (TpM ist der Tangentialraum)
>
> Und nun der Satz:
> Seien [mm](x,U)[/mm], [mm](y,V)[/mm] Karten um [mm]p \in M[/mm] für eine
> differenzierbare Mannigfaltigkeit [mm](M, \mathcal{A})[/mm]. Für
> [mm]\upsilon \in TpM[/mm] seien [mm]\xi[/mm] und [mm]\eta[/mm] die Hauptteile bzgl. x
> bzw. y. Dann gilt:
> [mm]\eta = d(y \circ x^{-1})_{x(p)} \xi[/mm].
>
> Also ich habe ein immenses Problem mir das vorzustellen.
> HAb schon versucht alles aufzumalen, aber dabei ist mir
> klar geworden, dass ich überhaupt nicht verstanden habe
> was der Hauptteil ist.
Der Hauptteil ist das Bild des Tangentialvektors im [mm] $\IR^n$ [/mm] unter der Karte.
Nehmen wir als Beispiel einer zweidimensionalen Mannigfaltigkeit die Kugeloberfläche. Da kannst du dir einen Tangentialvektor am Punkt p noch richtig vorstellen. Bei allgemeinen Manngifaltigkeiten geht das nicht mehr, daher braucht man eine Definition, die von der Vorstellung abstrahiert.
Dazu betrachtest du Kurven durch den Punkt p. Alle Kurven, die im Punkt p den gleichen Tangentialvektor (an die Kurve!) haben, betrachtest du als äquivalent. Damit gibt es eine 1-zu-1-Beziehung zwischen Tangentialvektoren und Äquivalenzklassen von Kurven, und man kann sich einen Tangentialvektor als solche Äquivalenzklasse von Kurven darstellen.
Bei allgemeinen Mannigfaltigkeiten funktioniert das nicht mehr, weil die nicht in den [mm] $\IR^n$ [/mm] eingebettet sind und daher der Begriff "Tangentialvektor an eine Kurve" keinen Sinn ergibt. Du musst daher mit Karten arbeiten: Alles was man im [mm] $\IR^n$ [/mm] machen muss, wird erst einmal mit der Kartenabbildung von der Mannigfaltigkeit in den [mm] $\IR^n$ [/mm] transportiert.
Also: um den Tangentialvektor an eine Kurve anzuschauen, nimmst du die Kurve $c$, transportierst sie in den [mm] $\IR^n$, [/mm] also [mm] $x\circ [/mm] c$, und schaust dir den Tangentialvektor an. Der ist
[mm] V(x,c) = \bruch{d}{dt}(x\circ c) \Bigr|_0 [/mm]
(wenn $x(p)=0$ ist, was wir ja einfach so definieren können).
Und dann geht es weiter wie vorher: Alle Kurven, die (nach Transport in den [mm] $\IR^n$) [/mm] denselben Tangentialvektor im [mm] \IR^n$ [/mm] haben, betrachten wir als äquivalent, und die Äquivalenzklasse stellt einen abstrakten Tangentialvektor an die Mannigfaltigkeit dar, also ein Element von $TpM$. Ein bischen Rechnerei und die Anwendung der Kettenregel zeigt, dass bei einem Kartenwechsel die Äquivalenzklasse und damit der abstrakte Tangentialvektor gleich bleiben.
Der Hauptteil des Tangentialvektors ist nichts anderes als unser Vektor $V(x,c) [mm] \in \IR^n$, [/mm] der ja für alle Kurven aus der Äquivalenzklasse $[c]$ derselbe ist.
> Dazu wird mir auch nicht klar wieso die Aussage des Satzes
> stimmt. Das müsste doch eigentlich möglich sein, das auch
> anschaulich zu verstehen.
Der Satz sagt, wie ändert sich der Vektor $V(x,c)$ zu $V(y,c)$, also bei einem Kartenwechsel.
Schreib dir die Definitionen hin:
[mm] \xi := \bruch{d}{dt}(x \circ c ) \Biggr|_{t=0} [/mm]
[mm] \eta:= \bruch{d}{dt}(y \circ c ) \Biggr|_{t=0} [/mm]
und benutze
[mm] y \circ c = y \circ x^{-1} \circ x \circ c [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:29 Do 13.03.2014 | | Autor: | Kueken |
Hallo Rainer,
herzlichen Dank für die ausführliche Erklärung. Ich versuche es mal kurz in eigenen Worten zusammenzufassen um zu sehen, ob ich es verstanden habe.
Also die spezielle Mannigfaltigkeit der Kugeloberfläche lässt anschaulich eine Definition des Tangentialvektors zu, die dann auf alle Mfkt. verallgemeinert werden muss. Bei der Kugeloberfläche habe ich ja erstmal nach schulwissen eine Tangentialebene. Also jede Menge Tangentialvektoren. Diese betrachtet man nicht als Geraden, denn allgemein kann ja jede Kurve Tangentialvektor sein, wenn sie in dem Berührpunkt salopp gesagt dieselbe Steigung (Richtungsbezogen) wie die Kugel hat. Davon gibt es jede Menge Kurven. Also habe ich eine Äquivalenzklasse von Kurven, die diese eine bestimmte Steigung hat. Im Grunde heißt das, dass man den Begriff Tangentialebene nicht halten kann. Denn wie sich die Kurve vor oder nach Passieren des Punktes verhält ist ja eigentlich egal. (wäre dann eigentlich auch ein Schnitt durch die Kugel an dem Punkt, also der Kreis, der dabei herauskommt, ein Element des Tangentialvektors in eine Richtung? Bin mir etwas unsicher, weil eine Kurve ja auf einem offenen Intervall definiert ist...)
Im allgemeinen muss man erstmal schauen, dass das allgemeine Problem auf das bereits bekannte (den [mm] \IR^n [/mm] heruntergebrochen wird (wie ja eigentlich fast immer in der Mathematik). Ich betrachte nun das was unter dem Hauptteil des Tangentialvektors zu verstehen ist. Das heißt ich bilde meine "alte" Kurve mittels meines Homöomorphismus, den ich durch meine Karte habe, in den [mm] \IR^n [/mm] ab und schauen mir dann das Differenzial an.
Was mir gerade auffällt: Ich habe nicht so recht verstanden warum x(p)=0 einfach so definiert werden kann.
Und nun sind alle die Kurven in einer Äquivalenzklasse, also derselbe Tangentialvektor, die denselben Hauptteil haben.
Stimmt das so?
Viele Grüße
Kerstin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Mo 17.03.2014 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kerstin,
> herzlichen Dank für die ausführliche Erklärung. Ich
> versuche es mal kurz in eigenen Worten zusammenzufassen um
> zu sehen, ob ich es verstanden habe.
>
> Also die spezielle Mannigfaltigkeit der Kugeloberfläche
> lässt anschaulich eine Definition des Tangentialvektors
> zu, die dann auf alle Mfkt. verallgemeinert werden muss.
> Bei der Kugeloberfläche habe ich ja erstmal nach
> schulwissen eine Tangentialebene. Also jede Menge
> Tangentialvektoren. Diese betrachtet man nicht als Geraden,
> denn allgemein kann ja jede Kurve Tangentialvektor sein,
> wenn sie in dem Berührpunkt salopp gesagt dieselbe
> Steigung (Richtungsbezogen) wie die Kugel hat.
Nein, denselben Tangentialvektor, also gleiche Richtung und gleiche Länge!
> Davon gibt
> es jede Menge Kurven. Also habe ich eine Äquivalenzklasse
> von Kurven, die diese eine bestimmte Steigung hat.
und Länge
> Im
> Grunde heißt das, dass man den Begriff Tangentialebene
> nicht halten kann.
Aber doch.
> Denn wie sich die Kurve vor oder nach
> Passieren des Punktes verhält ist ja eigentlich egal.
Eben, und hat keine Einfluss auf die Tangentialebene.
> (wäre dann eigentlich auch ein Schnitt durch die Kugel an
> dem Punkt, also der Kreis, der dabei herauskommt, ein
> Element des Tangentialvektors in eine Richtung? Bin mir
> etwas unsicher, weil eine Kurve ja auf einem offenen
> Intervall definiert ist...)
Die Kurve muss doch durch den betreffenden Punkt gehen.
> Im allgemeinen muss man erstmal schauen, dass das
> allgemeine Problem auf das bereits bekannte (den [mm]\IR^n[/mm]
> heruntergebrochen wird (wie ja eigentlich fast immer in der
> Mathematik). Ich betrachte nun das was unter dem Hauptteil
> des Tangentialvektors zu verstehen ist. Das heißt ich
> bilde meine "alte" Kurve mittels meines Homöomorphismus,
> den ich durch meine Karte habe, in den [mm]\IR^n[/mm] ab und schauen
> mir dann das Differenzial an.
> Was mir gerade auffällt: Ich habe nicht so recht
> verstanden warum x(p)=0 einfach so definiert werden kann.
Weil der [mm]\IR^n[/mm] translationsinvariant ist. Wenn also [mm] $x(p)=a\not=0$, [/mm] dann nimmst du statt dessen [mm] $\tilde [/mm] x(p) = x(p)-a$.
> Und nun sind alle die Kurven in einer Äquivalenzklasse,
> also derselbe Tangentialvektor, die denselben Hauptteil
> haben.
Richtig, und das heisst gleiche Richtung und gleiche Länge.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:57 Di 18.03.2014 | | Autor: | Kueken |
Vielen Dank,
ich denke dass ich alles verstanden habe. :)
Viele Grüße
Kerstin
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