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Tangentialraum von SL2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:51 Fr 01.06.2012
Autor: Beta10

Aufgabe
Sei [mm] SL_{2}(\IR) [/mm] die spezielle lineare Gruppe aller reellwertigen (2x2)- MAtrizen der Determinante 1.

Man beweise, dass die Gruppe eine 3-dimensionale Mannigfaltigkeit und dass ihr Tangentialraum im neutralen Element Id durch

[mm] T_{Id}SL_{2}( \IR)= [/mm] { A [mm] \in M_{2}(\IR): [/mm] tr A=0}

gegeben ist. Hinweis: Man verwende die Formel [mm] det(expA)=e^{trA} [/mm]

Hallo zusammen,

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich habe bereits bewiesen, dass die Gruppe eine Untermannigfaltigkeit ist.

Bei der Bestimmung des Tangentialraumes stoße ich jedoch auf Probleme, habe sowas auch noch nie gemacht, insbesondere nicht für Gruppen.
Ich habe versucht, eine Kurve [mm] \gamma:[0,\varepsilon[ \to M_{2}(\IR) [/mm] zu finden, für die gilt, dass [mm] \gamma(0)=Id [/mm] und [mm] \gamma' [/mm] (0)= A, wobei {A [mm] \in M_{2}(\IR): [/mm] trA=0}, mir ist aber nicht klar wie ich das anstellen muss.


Für Tipps wäre ich sehr dankbar!
Gruß,
Beta10





        
Bezug
Tangentialraum von SL2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:25 So 03.06.2012
Autor: Beta10

Hallo, ich bin bei der Bearbeitung der Aufgabe weitergekommen, habe aber Fragen, die mir hoffentlich jemand beantworten kann:

Der Tangentialraum [mm] T_{x}M^{K} [/mm] einer Mannigfaltigkeit [mm] M^{K} [/mm] besteht (nach einem Satz aus unserer VL) aus allen Vektoren (x,v) [mm] \in T_{x}\IR^{n}, [/mm] für die eine glatte Kurve [mm] \gamma:[0,\pm\varepsilon[ \to M^{k} [/mm] mit [mm] \gamma(0)=x [/mm] und [mm] \gamma'(0)=v [/mm] existiert.

Ich habe jetzt die Kurve [mm] \gamma:[0,\pm\varepsilon[ \to SL_{2} [/mm] betrachtet, mit t  [mm] \mapsto e^{At}. [/mm]

Es gilt dann [mm] \gamma(0)=Id [/mm] und wegen [mm] \gamma'(t)=A*e^{At} [/mm] ja [mm] \gamma'(0)=A. [/mm]
Zu zeigen ist ja nun zunächst, dass die Spur von A Null sein muss.
Meiner Meinung nach geht das so: Da [mm] \gamma [/mm] ja nach [mm] SL_{2} [/mm] abbildet, muss gelten: [mm] det(e^{At})=e^{trA}=1 \Rightarrow [/mm] trA=0.

Hat jemand eine Idee wie man jetzt noch zeigen kann, dass es keine weiteren Matrizen gibt, die in [mm] T_{id}SL_{2} [/mm] liegen?



Bezug
                
Bezug
Tangentialraum von SL2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:58 Mo 04.06.2012
Autor: SEcki


>  Meiner Meinung nach geht das so: Da [mm]\gamma[/mm] ja nach [mm]SL_{2}[/mm]
> abbildet, muss gelten: [mm]det(e^{At})=e^{trA}=1 \Rightarrow[/mm]

In der Mitte fehlt ein t.

> Hat jemand eine Idee wie man jetzt noch zeigen kann, dass
> es keine weiteren Matrizen gibt, die in [mm]T_{id}SL_{2}[/mm]
> liegen?

Dimensionsargument.

SEcki


Bezug
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