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Tangentialraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:00 Mi 01.07.2020
Autor: James90

Hallo,

für eine Übungsaufgabe sollte ich zeigen, dass für alle [mm] $A\in\IR^{n\times n} [/mm] gilt [mm] \det(e^{A})=e^{tr(A)}. [/mm]
Sei [mm] $A\in\IR^{n\times n}. [/mm] Dann gibt es eine Transformationsmatrix T mit [mm] J=T^{-1}AT [/mm] und somit
[mm] \det(e^{A})=\det(e^{TJT^{-1}})=\det(Te^{J}*T^{-1})=\det(T)\det(e^J)\det(T^{-1})=\det(e^J)=e^{tr(J)}=e^{tr(A)} [/mm]

Nun steht noch folgende Frage dabei:

Ist der Tangentialraum [mm] T_{I_n}\{A\in\IR^{n\times n}\mid \det(A)=1\} [/mm] der Vektorraum der Matrizen mit Spur 0 ist?

Ich denke, dass man hier das Resultat von oben als Erklärung nutzen soll, aber so ganz komme ich nicht drauf.

Klar ist, dass für eine Matrix [mm] A\in\IR^{n\times n} [/mm] mit Spur 0 gilt [mm] e^{tr(A)}=I_n. [/mm]

Vielen Dank und viele Grüße!
James

        
Bezug
Tangentialraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:32 Mi 01.07.2020
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> für eine Übungsaufgabe sollte ich zeigen, dass für alle
> [mm]$A\in\IR^{n\times n}[/mm] gilt [mm]\det(e^{A})=e^{tr(A)}.[/mm]
>  Sei [mm]$A\in\IR^{n\times n}.[/mm] Dann gibt es eine
> Transformationsmatrix T mit [mm]J=T^{-1}AT[/mm] und somit
>  
> [mm]\det(e^{A})=\det(e^{TJT^{-1}})=\det(Te^{J}*T^{-1})=\det(T)\det(e^J)\det(T^{-1})=\det(e^J)=e^{tr(J)}=e^{tr(A)}[/mm]
>  
> Nun steht noch folgende Frage dabei:
>  
> Ist der Tangentialraum [mm]T_{I_n}\{A\in\IR^{n\times n}\mid \det(A)=1\}[/mm]
> der Vektorraum der Matrizen mit Spur 0 ist?

Hier solltest Du fündig werde:

http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~lschwach/SS11/Seminar_II/Tangentialraum.pdf


>  
> Ich denke, dass man hier das Resultat von oben als
> Erklärung nutzen soll, aber so ganz komme ich nicht
> drauf.
>  
> Klar ist, dass für eine Matrix [mm]A\in\IR^{n\times n}[/mm] mit
> Spur 0 gilt [mm]e^{tr(A)}=I_n.[/mm]
>  
> Vielen Dank und viele Grüße!
>  James  


Bezug
                
Bezug
Tangentialraum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:46 Mi 01.07.2020
Autor: James90

Super, danke dir lieber Fred! :)

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