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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:55 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Kueken |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P, der zur Spitze des Tangentialkegels gehört, dessen Berührkreis die Kugel K in der Ebene E schneidet.
K:[ [mm] \vec{x}-\vektor{2 \\ 1 \\ 3}]^{2}=16 [/mm] E: [mm] \vec{x}*\vektor{1 \\ 3 \\ 3}-30=0 [/mm] |
Hi!
Also ich habe Probleme einen gescheiten Ansatz zu finden. Vielleicht kann mir da jemand bitte einen Denkanstoß geben.
Vielen lieben Dank und liebe Grüße
KErstin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:30 Mo 21.04.2008 | | Autor: | statler |
> Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P, der zur Spitze
> des Tangentialkegels gehört, dessen Berührkreis die Kugel K
> in der Ebene E schneidet.
> K:[ [mm]\vec{x}-\vektor{2 \\ 1 \\ 3}]^{2}=16[/mm] E:
> [mm]\vec{x}*\vektor{1 \\ 3 \\ 3}-30=0[/mm]
Guten Tag Kerstin!
> Also ich habe Probleme einen gescheiten Ansatz zu finden.
> Vielleicht kann mir da jemand bitte einen Denkanstoß
> geben.
Da es nur um einen Ansatz geht, wie wär's damit: Du suchst 3 verschiedene Punkte auf dem Schnittgebilde von Kugel und Ebene. In jedem dieser Punkte legst du die Tangentialebene an die Kugel. Das sollte nicht alllzu schwer sein, weil der zugehörige Radius-Vektor eine Normale ist. Und der Schnittpunkt dieser 3 Ebenen ist die Kegelspitze, es sei den, man ist auf dem Äquator zugange, dann gibt es einen Zylinder.
Du kannst natürlich auch eine Tangential-Ebene und die Gerade durch den Kugel-Mittelpunkt nehmen, die auf der gegebenen Ebene E senkrecht steht, sie geht auch durch die Kegelspitze.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Kueken |
Hallo Dieter!
Vielen Dank für deine Antwort!
Ich versuch es jetzt auf deine zweite Methode. Geht, glaub ich schneller. Aber wie bekomm ich den einen Punkt der auf dem Schnittkreis liegt? Ich hab mir gedacht Kugel und Ebene gleichsetzen, aber dann hab ich wieder eine Kugelgleichung... =(
Liebe Grüße
Kerstin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:08 Mo 21.04.2008 | | Autor: | statler |
Hi,
wenn z. B. eine Gerade gegeben ist (y = mx + b), wie bekommst du einen beliebigen Punkt auf dieser Geraden?
Bei dir ist ein Kreis gegeben, aber durch 2 Gleichungen. Wie bekommst du einen beliebigen Punkt, der beide Gln. erfüllt?
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Kueken |
das hab ich mich auch schon gefragt *g*
Deshalb habe ich gedacht, ich müsste beide gleichsetzen und dann am Ende etwas für x und y einsetzen, damit ich weiß was z sein muss, aber pustekuchen. Es gab keinen z-Wert zu dem x und y...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 Mo 21.04.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> das hab ich mich auch schon gefragt *g*
>
> Deshalb habe ich gedacht, ich müsste beide gleichsetzen und
> dann am Ende etwas für x und y einsetzen, damit ich weiß
> was z sein muss, aber pustekuchen. Es gab keinen z-Wert zu
> dem x und y...
Mit einer Zeichnung oder einem guten räumlichen Vorstellungsvermögen könntest du dir das erklären. Wenn du für x = k setzt, stellt das eine Ebene parallel zur y-z-Ebene dar. Wenn die z. B. die Kugel nicht trifft, trifft sie den Kreis erst recht nicht, also kann man nicht jedes k nehmen. Die gleiche Argumentation gilt für y und z. Trotzdem ist dein Ansatz im Grundsatz ok, du wählst x im richtigen Intervall und berechnest dann y und z.
Aber du hast inzwischen ja auch einen anderen Ansatz.
Gruß
Dieter
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:12 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Kueken |
dann hätte ich als einen Punkt (2/3/5)
jetzt tangentialebenengleichung aufstellen und gleich der Geradengleichung setzten, richtig?
Dann t ausrechnen und t wieder in g einsetzen...
hab das alles gemacht und sogar was raus, aber nicht das was eben bei weduwe rauskam.
Im anhang meine Rechnung.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:08 Mo 21.04.2008 | | Autor: | weduwe |
> dann hätte ich als einen Punkt (2/3/5)
> jetzt tangentialebenengleichung aufstellen und gleich der
> Geradengleichung setzten, richtig?
> Dann t ausrechnen und t wieder in g einsetzen...
> hab das alles gemacht und sogar was raus, aber nicht das
> was eben bei weduwe rauskam.
> Im anhang meine Rechnung.
>
wenn ich mich nicht sehr täusche, liegt P(2/3/5) weder auf der kugel noch in der ebene
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Kueken |
Hi!
Ich hab dann gemerkt, dass ich anstelle von -5x -3x geschrieben habe.
Aber ich bekomm trotzdem nix raus, was Punkt der Kugel ist. Die Gleichung ergibt für x=3 und y= 4 z=6 v. z=3.
Hab jetzt bestimmt 5 mal das ganze gerechnet, aber es funktioniert nicht. =(
Ich glaube da ist irgendein Ansatz von mir falsch...
lg
Kerstin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Mo 21.04.2008 | | Autor: | weduwe |
> Hi!
> Ich hab dann gemerkt, dass ich anstelle von -5x -3x
> geschrieben habe.
> Aber ich bekomm trotzdem nix raus, was Punkt der Kugel
> ist. Die Gleichung ergibt für x=3 und y= 4 z=6 v. z=3.
>
> Hab jetzt bestimmt 5 mal das ganze gerechnet, aber es
> funktioniert nicht. =(
> Ich glaube da ist irgendein Ansatz von mir falsch...
>
> lg
> Kerstin
der ansatz ist im prinzip nicht falsch, aber das problem liegt eben darin, einen geeigneten berührpunkt zu finden.
dies besonders im konkreten fall, wo die punkte des schnittkreises folgende gleichung erfüllen müssen - so ich mich nicht verrechnet habe:
[mm] \vec{x}=\vektor{\frac{54}{19}\\ \frac{67}{19}\\ \frac{105}{19}}+\frac{4}{19}\sqrt{57}\vektor{0\\-1\\1}cos\alpha+\frac{4}{19}\sqrt{57}\vektor{-6\\-1\\1}sin\alpha
[/mm]
und da wird es halt schwer sein, eine ganzzahlige lösung für den berührpunkt zu "erraten".
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Kueken |
au backe, dann ist deine erste Lösung ja vielviel einfacher....
aber danke dir!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:00 Mo 21.04.2008 | | Autor: | weduwe |
eine weitere möglichkeit wäre diese:
der tangentialkegel berührt die kugel in einem kreis, der in [mm]E : (\vec{x}-\vec{m}\cdot (\vec{s}-\vec{m})=r²[/mm] liegt, wobei [mm] \vec{s} [/mm] der ortsvektor der spitze ist.
ausgeschrieben ergibt das:
[mm] (\vektor{x\\y\\z}-\vektor{2\\1\\3})\cdot(\vektor{s_1\\s_2\\s_3}-\vektor{2\\1\\3})=16
[/mm]
[mm] x(s_1 -2)+y(s_2-1)+z(s_3-3)=2+2s_1+s_2+3s_3
[/mm]
mittels koeffizientenvergleich mit der gegebenen ebene hat man nun:
[mm] s_1-2=1\to s_1=3
[/mm]
[mm] s_2-1=3\to s_2=4
[/mm]
[mm] s_3-3=3\to s_3=6
[/mm]
soferne [mm]2+2s_1+s_3+3s_3=30 [/mm], was tatsächlich der fall ist.
daher [mm]S(3/4/6)[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Kueken |
hmm... *grübel*
ok, soweit alles klar, aber wieso wird die -30 bei deinem Koeffizientenvergleich erst danach berücksichtigt?
Danke für deine Antwort!
lg
Kerstin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 Mo 21.04.2008 | | Autor: | weduwe |
ich sage es einmal so:
a) weil ich faul bin und
b) auf mein glück vertraut habe
und
c)dieses mich nicht in stich gelassen hat
ansonsten hätte man so umformen müssen, dass eben auf der rechten seite +30 rauskommt, durch multiplikation der gleichung mit
[mm] t=\frac{30}{2+2s_1 +s_2 +3s_3}
[/mm]
was (wieder) zu einem lgs in den 3 koordinaten geführt hätte.
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