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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Sa 01.04.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Wert für a element IR so, dass die Ebene E die Kugel K berührt.
E: ax+ay+2z=10
[mm] k:x^2+y^2+z^2+10x-20y+10z+50=0 [/mm] |
Moin.
Bei der Aufgabe komme ich leider nicht aufs gesuchte Ergebnis a=0 sowie a=-8/7
Ich habe zunächst die Kugelgleichung entsprechend umgewandelt, damit ich den Mittelpunkt berechnen kann
[mm] k:x^2+y^2+z^2+10x-20y+10z=-50
[/mm]
[mm] x^2+10x+y^2-20y+z^2+10z=-50
[/mm]
[mm] (x+5)^2+(y-10)^2+(z+5)^2 [/mm] = - 50 +25+100+25
[mm] (x+5)^2+(y-10)^2+(z+5)^2 [/mm] =100
r=10
M(-5|10|-5)
Nun ist der Abstand mit der Hessenschen Normalenform für die Koordinatengleichung gleich 10
10 = [mm] \bruch{ax+ay+2z-10}{\wurzel{a^2+a^2+4}}
[/mm]
für x, y,z setze ich den Mittelpunkt ein
10 = [mm] \bruch{-5a+10a+(2*-5)-10}{\wurzel{a^2+a^2+4}}
[/mm]
10 = [mm] \bruch{5a-10-10}{\wurzel{2a^2+4}}
[/mm]
10 = [mm] \bruch{5a-20}{\wurzel{2a^2+4}}
[/mm]
Wenn ich das nun lösen möchte, hat das allerdings keine Lösung!
Wo ist der Fehler?
Grüße Phoney
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:10 Sa 01.04.2006 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
Du hast alles richtig gerechnet.
Nur noch nach a auflösen und durchatmen.
10 = 5a - 20 / [mm] \wurzel{(2a^2 +4)} [/mm]
10 [mm] \wurzel{(2a^2 +4)} [/mm] = 5a - 20 | Gleichung quadrieren
100 [mm] (2a^2 [/mm] +4) = (5a - [mm] 20)^2
[/mm]
200 [mm] a^2 [/mm] + 400 = 25 [mm] a^2 [/mm] - 200 a + 400
175 [mm] a^2 [/mm] + 200 a = 0
[mm] a^2 [/mm] + 8 / 7 a = 0
a (a + 8/7) = 0
a1 = 0
a2 = - 8/7
lg
wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:39 Sa 01.04.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo Wolfgang.
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> Du hast alles richtig gerechnet.
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> Nur noch nach a auflösen und durchatmen.
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> 10 = 5a - 20 / [mm]\wurzel{(2a^2 +4)}[/mm]
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> 10 [mm]\wurzel{(2a^2 +4)}[/mm] = 5a - 20 | Gleichung
> quadrieren
>
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> 100 [mm](2a^2[/mm] +4) = (5a - [mm]20)^2[/mm]
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> 200 [mm]a^2[/mm] + 400 = 25 [mm]a^2[/mm] - 200 a + 400
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> 175 [mm]a^2[/mm] + 200 a = 0
>
> [mm]a^2[/mm] + 8 / 7 a = 0
>
> a (a + 8/7) = 0
>
> a1 = 0
>
> a2 = - 8/7
Vielen dank für die ausführliche Rechnung. Ich dachte, es geht alles nicht auf. Welch eine Beruhigung, vielen dank dafür
Viele Grüße Johann
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