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Tangential-Normalenräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:43 Do 18.10.2012
Autor: blubblub

Aufgabe
Es sei [mm] M={(x_{1},x_{2},x_{3})\in (\IR)^{3};(x_{1})^{2} +(x_{2})^{2} -(x_{3})^{2}=1} [/mm]

(a) Zeigen Sie: M ist ein Untermannigfaltigkeit.
(b) Bestimmen Sie überall die Tangential- und Normalenräume.
(c) Bestimmen Sie alle Geraden, die in M enthalten sind.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo,

ich bin neu hier im Matheraum und hoffe ihr könnt mir bei der Aufgabe helfen.

Das sind erstmal meine eigene Überlegungen:
zu (a)
Sei f(x)= [mm] (x_{1})^{2} +(x_{2})^{2} -(x_{3})^{2}-1 [/mm]
Damit ist M= [mm] {x\in (\IR)^3; f(x)=0} [/mm] und die Nullstellenmenge definiert
Von f(x) bestimme ich jetzt den Gradieten, welcher so aussieht:
Df= [mm] 2(x_{1}) [/mm] + [mm] 2(x_{2}) -2(x_{3}) [/mm]
Rang von (Df)=1, da die Unbekannten nicht alle Null sind
Die Menge ist also eine 3-1 dimensionale Untermanigfaltigkeit
ist das richtig so??

zu (b): TaM ist der Raum aller Tangentialvektoren

TaM={v [mm] \in \IR^3; <(2a_1,2a_2, 2a_3), [/mm] v> = 0}={a_1v+a_2v -a_3v=0}
Doch wie geh ich weiter voran??

NaM steht senkrecht auf TaM d.h. <v,w>= 0 für alle w /in TaM
Wie genau berechne ich dies?

zu (c): da habe ich leider garkeine Ideen

Danke an alle die mir helfen :-)

        
Bezug
Tangential-Normalenräume: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:22 So 21.10.2012
Autor: blubblub

Kann mir keiner helfen :-(

Bezug
        
Bezug
Tangential-Normalenräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:11 So 21.10.2012
Autor: SEcki


> Das sind erstmal meine eigene Überlegungen:
> zu (a)
>  Sei f(x)= [mm](x_{1})^{2} +(x_{2})^{2} -(x_{3})^{2}-1[/mm]
>  Damit
> ist M= [mm]{x\in (\IR)^3; f(x)=0}[/mm] und die Nullstellenmenge
> definiert
>  Von f(x) bestimme ich jetzt den Gradieten, welcher so
> aussieht:
> Df= [mm]2(x_{1})[/mm] + [mm]2(x_{2}) -2(x_{3})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)



Ich finde dieses keine gute Notation, da wirfst du Sachen durcheinander.

>  Rang von (Df)=1, da die
> Unbekannten nicht alle Null sind
> Die Menge ist also eine 3-1 dimensionale
> Untermanigfaltigkeit
>  ist das richtig so??

Im Prinzip ja.

> zu (b): TaM ist der Raum aller Tangentialvektoren
>
> TaM={v [mm]\in \IR^3; <(2a_1,2a_2, 2a_3),[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

v> = 0}={a_1v+a_2v

> -a_3v=0}
> Doch wie geh ich weiter voran??

Ich würde das einfach paramterisieren durch Vektoren der Bauart [m](1,0,b),(0,1,b)[/m]

> NaM steht senkrecht auf TaM d.h. <v,w>= 0 für alle w /in
> TaM
>  Wie genau berechne ich dies?

Was glaubst, welche Eigenschaft der Gradient hat?

> zu (c): da habe ich leider garkeine Ideen

Die Mgf. plotten kann helfen. Aber auch sich die auf den Punkt verschobenen Tangentialräume anschauen - wenn eine Gerade komplett in der Mgf. liegt, heisst dies dass für jeden Punkt p auf der Gerade existiert ein Tangentialvektor v, so dass die Gerade gleich [m]p+\lambda v\| v\in|IR[/m] gleicht.

SEcki
</v,w>

Bezug
                
Bezug
Tangential-Normalenräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:25 So 21.10.2012
Autor: blubblub

ah ok

Also durch die Paremtrisierung erhalte ich ja für den
TaM={ [mm] a_{1} -ba_{3}=0 [/mm] und [mm] a_{2}-ba_{3} [/mm] } und da der Gradient schon SKP gleich Null setzt wird eine Basis der NaM von folgenden Vektoren gebildet:
[mm] (a_{1},0, ba_{3})^{tr} [/mm] ; [mm] (0,a_{2},ba_{3})^{tr} [/mm]

habe ich es richtig verstanden??

Danke dass du mir hilfst

Bezug
                        
Bezug
Tangential-Normalenräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:16 Di 23.10.2012
Autor: SEcki

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

> Also durch die Paremtrisierung erhalte ich ja für den
> TaM={ [mm]a_{1} -ba_{3}=0[/mm] und [mm]a_{2}-ba_{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

} und da der

> Gradient schon SKP gleich Null setzt wird eine Basis der
> NaM von folgenden Vektoren gebildet:
> [mm](a_{1},0, ba_{3})^{tr}[/mm] ; [mm](0,a_{2},ba_{3})^{tr}[/mm]
>  
> habe ich es richtig verstanden??

Ich habe keine Ahnung, was du da gemacht hast. Ich mach mal einen Anfang: wenn [m]x_1,x_2\neq 0[/m] ist, dann gilt [m]<(x_1,x_2,-x_3),(x_3,0,x_1)>=0[/m], also [m](x_3,0,x_1)[/m] im Tangentialraum.

SEcki


Bezug
                
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Tangential-Normalenräume: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:36 So 21.10.2012
Autor: blubblub

zu c
deine Erklärung klingt logisch jedoch kann ich es nicht in die Aufgabe einordnen


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Tangential-Normalenräume: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Di 23.10.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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