Tangentensteigung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweiseb Sie,dass [mm] f(x)=x^{n} [/mm] --> [mm] f'(x)=n*x^{n-1} [/mm] |
Kann man einer helfen,dass zu lösen?
Ich komme,da echt nicht weiter.
Die Aufgabe davor :
Tangente an einer Geraden also:
f(x)= mx+b , d.h. Steigung der Tangente= m .
Das verstehe ich noch.
Aber mit der Aufgabe komme ich nicht klar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo tonystuan,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Beweiseb Sie,dass f(x)= [mm]x^{n}[/mm] --> f'(x) = [mm]n+x^{n-1}[/mm]
> Kann man einer helfen,dass zu lösen?
> Ich komme,da echt nicht weiter.
> Die Aufgabe davor :
>
> Tangente an einer Geraden also:
>
> f(x)= mx+b , d.h. Steigung der Tangente= m .
>
> Das verstehe ich noch.
> Aber mit der Aufgabe komme ich nicht klar.
Betrache hier zwei Punkt [mm]\left( \ x_{1} \left|\right f\left(x_{1}\right) \ \right)[/mm] und [mm]\left( \ x_{2} \left|\right f\left(x_{2}\right) \ \right)[/mm] mit [mm] x_{1} < x_{2} [/mm]
Durch diese zwei Punkte ist die Steigung der Sekante bestimmt.
[mm]m_{\operatorname{Sekante}}=\bruch{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}[/mm]
Lass nun [mm]x_{2}[/mm] gegen [mm]x_{1}[/mm] laufen, der Wert der dann herauskommt ist die Steigung der Tangente an der Stelle [mm]x_{1}[/mm].
Setze hier zweckmäßigerweise [mm]x_{2}=x_{1}+h, \ h > 0[/mm]
Dann ergibt sich
[mm]m_{\operatorname{Sekante}}=\bruch{f\left(x_{1}+h\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{1}+h-x_{1}}=\bruch{f\left(x_{1}+h\right)-f\left(x_{1}\right)}{h}[/mm]
Dies ist der Differenzenquotient.
Für die Steigung der Tangente an dieser Stelle,
lasse nun [mm]h\to 0[/mm] laufen, das ist dann der Differentialquotient.
Bei der Berechnung des Differntenquotienten ist der binomische Lehrsatz hilfreich.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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Hm.
Aber ich suche ja die Tangentensteigung und nicht die von der Sekante.
Man soll zeigen,dass die Steigung eines beliebigen Graphens [mm] f(x)=x^{n} [/mm] in jedem Fall f'(x)= n*x^(n-1) ist.
Oder die Antwort war richtig,und ich verstehe sie nur nicht. =-(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Di 19.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo tonystuan!
Ja, die Antwort ist richtig. Durch den oben erwähnten Grenzübergang von [mm] $x_2\rightarrow x_1$ [/mm] bzw. [mm] $h\rightarrow [/mm] 0$ erhält man dann die gesuchte Tangentensteigung.
Denn je dichter [mm] $x_2$ [/mm] und [mm] $x_1$ [/mm] beisammen liegen, desto ähnlicher werden sich die Sekante und die Tangente.
Gruß
Loddar
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Hallo,
ja das war mir schon klar. ^^
Nur verwirrt mich das [mm] f'(x)=n*x^{n-1} [/mm] etwas.
Davon war hier noch nicht die Rede,obwohl es die Aufgabe ist. :)
Von Sekaten zur Tangenten Steigung,das weiß ich.^^
Der Trick mit dem Spiegel zur tangente kenn ich auch.
Nur die Gleichung macht mich irre. :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Di 19.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo tonystuan!
Setze doch einfach mal in die oben genannte formel ein:
[mm] $$m_t [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{(x+h)^n-x^n}{h} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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Ich verstehe gerade nur nicht wie aus f(x+h), dann [mm] (x+h)^{n} [/mm] wird.
Was ist denn H?
Also,vielleicht hilft das weiter:
Mein Vorgang zur Bestimmung einer Tangentensteigung:
Man hat z.b. P (x;x²) und Q (x';x'²)
P und Q liegen auf einer Parabel und sind die Schnittpunkte für die Sekante.
Die Steigung der Sekante:
m= Delta (x'²-x²)/(x'-x)
x' strebt gegen den Wert x,da Sekante sich der Tangente annähert.
So,als nächstess wendet man die 3. binomische Formel an:
(x'+x)(x'-x)/x'-x .
Man kürzt x'-x weg und man erhält = x'+x.
x'+x= 2x',da x sich x' annähert.
Dann bestimmt man B in der Gleichung :
y=mx+b
b= -x'²
y=2x'*x-x'².
So war meine bisher verwendete Anwendung zur Tangentengleichung.
Damit konnte man auch z.B. die Tangentengleichung des Punktes Z (-5|25) errechnen : f(x)=-10*x-25
Nun verwirren mich die Buchstaben h und n. =(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Di 19.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das was du mit der parabel gemacht hast musst du genauso hier machen. Die anderen haben einfach x'=x+h gesetzt, das ist oft einfacher.
also 2 Punkte: [mm] P=(x,x^n) [/mm] und P'=(x',x'^n)
dann die Sekante.
Danach Polynomdivision [mm] (x^n-x'^n):(x-x')
[/mm]
Gruss leduart
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Was ist Polymdivision? O.o
Hm.Ansonten wird die hausaufgabe eben nicht gemacht,wenn ich das Mathe-Genie der Klasse das nicht kapier,dann hat keiner die Hausaufgabe.^^
Nur mal so: x' ist ja eine Y-Koordinate.
Warum ist dann x' = x+h?
Was ist denn h?Mein erste Gedanke ist Höhe,aber das wirds wohl nicht sein.
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Hallo tonystuan,
> Was ist Polymdivision? O.o
> Hm.Ansonten wird die hausaufgabe eben nicht gemacht,wenn
> ich das Mathe-Genie der Klasse das nicht kapier,dann hat
> keiner die Hausaufgabe.^^
Guckst Du hier: Polynomdivision
> Nur mal so: x' ist ja eine Y-Koordinate.
x' ist eine X-Koordinate.
> Warum ist dann x' = x+h?
> Was ist denn h?Mein erste Gedanke ist Höhe,aber das wirds
> wohl nicht sein.
>
h ist der Abstand von x' zu x.
>
Gruß
MathePower
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Hm.
Nun,ich versuchs mal einigermaßen zu verstehen und morgen im Unterricht zu versuchen zu erläutern.
Da morgen bestimmt nach dem Unterricht mir neue Fragen im Kopf schwebe,wede ich mich wohl morgen wieder melden.
h= x'-x ..?
dann muss Steigung der Sekante dann : h/h' sein?
wenn h=x'-x und h'=y'-y sind?
Mal sehen,was mein Lehrer zu versucht zu erklären.
mfg,
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 Di 19.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast doch 2 verschiedene x Werte, du nennst si x und x'
der eine hat einen Abstand h vom anderen. dabei kann h negativ oder positiv sein. x'-x=h
statt dass man am ende x' gegen x gehen laesst laesst man h gegen 0 gehen.
Aber u kannst auch ausprobieren: [mm] (a^n-b^n)=(a-b)*(a^{n-1}+b*a^{n-2}+b^2*a^{n-3}+......b^{n-2}*a+b^{n-1}
[/mm]
probiers fuer n= 3 und 4 und glaub den Rest!
Das ist die Erweiterung von [mm] a^2-b^2=(a-b)(a+b) [/mm] die du bei der parabel benutzt hast.
Gruss leduart
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Hallo,
dank der Unterrichtseinheit habe ich es jetzt auch verstanden.
Mein Lehrer hat das h nicht für die Differenz benutzt.
Nun sollen wir aber beweisen,dass :
f(x)= [mm] \wurzel{X} [/mm] ; f'(x) = [mm] 2\wurzel{x} [/mm] , bin mir nicht sicher ob 2 Wurzel x rauskommt.
Nur,mir fällt keine binomische Formel ein,um dies zu lösen.
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Hallo tonystuan,
> Hallo,
> dank der Unterrichtseinheit habe ich es jetzt auch
> verstanden.
> Mein Lehrer hat das h nicht für die Differenz benutzt.
>
> Nun sollen wir aber beweisen,dass :
>
> f(x)= [mm]\wurzel{X}[/mm] ; f'(x) = [mm]2\wurzel{x}[/mm] , bin mir nicht
> sicher ob 2 Wurzel x rauskommt.
>
Eher wohl [mm]f'\left(x\right)=\bruch{1}{2*\wurzel{x}}[/mm]
> Nur,mir fällt keine binomische Formel ein,um dies zu
> lösen.
>
Nun, erweitere den Bruch [mm]\bruch{\wurzel{x_{2}}-\wurzel{x_{1}}}{x_{2}-x_{1}}[/mm] mit einem geeigneten Faktor.
Gruß
MathePower
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