Tangenten an Kreis < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 So 14.12.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | 1. Welche Gleichungen haben die Tangenten [mm] t_1 [/mm] und [mm] t_2 [/mm] an den Kreis k: [mm] \vec{x}^2 [/mm] = 16, die orthogonal zur Geraden g: [mm] \vektor{ 8 \\ 15}*\vec{x} [/mm] = 30 sind?
2. Nebenfrage: wie kann ich die Geradengleichung in eine Parametergleichung verwandeln? |
Moin,
hoffe, ich habe das richtige Forum gefunden, da ich kein Forum für "Kreise und Kugeln" fand...
Meine Gedanken:
1. Der Richtungsvektor [mm] \vec{u} [/mm] der Tangenten, die ja orthogonal zu g sein sollen, müsste ja mit dem Richtungsvektor von g multipliziert null ergeben.
=> [mm] \vec{u}*\vektor{8 \\ 15} [/mm] = 0
Also wäre z.b. [mm] \vec{u} [/mm] = [mm] \vektor{-15 \\ 8} [/mm] ein Richtungsvektor der Tangenten.
Weiter.
Eine Gerade [mm] t_3 [/mm] durch (0/0) hätte die Form
[mm] t_3: \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{-15 \\ 8}
[/mm]
Aber wie geht es jetzt weiter?
Könnte man sagen, eine Parallele von g, die durch den Mittelpunkt des Kreises M(0/0) geht, führt zu den Berührpunkten, der orthogonalen Tangenten? Falls ja, warum?
Danke & Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Mo 15.12.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich würde es ohne Vektorrechnung versuchen.
Der Kreis hat die Form
[mm] \left(\vektor{x\\y}\right)^{2}=16
[/mm]
[mm] \gdw \vektor{x\\y}*\vektor{x\\y}=16
[/mm]
[mm] \gdw x^{2}+y^{2}=16
[/mm]
Die Gerade hat die Form
[mm] \vektor{8\\15}*\vektor{x\\y}=30
[/mm]
[mm] \gdw8x+15y=30
[/mm]
[mm] \gdw y=-\bruch{8}{15}x+2
[/mm]
Jetzt suchst du Geraden, die senkrecht zu g stehen, also weisst du, dass diese die Steigung [mm] m_{\perp}=\bruch{1}{8} [/mm] haben, denn [mm] m_{\perp}*m=-1
[/mm]
Also haben die Normalen n(x) zu g folgende Form:
[mm] (y=)n(x)=\bruch{1}{8}x+b
[/mm]
Und jetzt musst du das b noch so bestimmen, dass sie Tangenten an K sind, also setze n(x) mal in K ein.
Also:
[mm] x^{2}+\left(\bruch{1}{8}x+b\right)^{2}=16
[/mm]
[mm] \gdw x²+\bruch{1}{64}x²+\bruch{b}{4}x+b²=16
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{65}{64}x²+\bruch{b}{4}x+b²-16=0
[/mm]
[mm] \gdw x²+\bruch{16b}{65}x+\bruch{65(b²-16)}{65}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{1;2}=\bruch{8b}{65}\pm\wurzel{\left(\bruch{8b}{65}\right)^{2}-\bruch{65(b²-16)}{65}}
[/mm]
Da n(x) aber Tangenten sein sollen, darf es nur einen Schnittpunkt von n(x) und K geben, das geht aber nur, wenn der Wurzelterm=0 ist, also muss gelten:
[mm] \left(\bruch{8b}{65}\right)^{2}-\bruch{65(b²-16)}{65}=0
[/mm]
Daraus kannst du jetzt das b bestimmen, und damit dann die (beiden) Normale(n) [mm] n(x)=\bruch{1}{8}x+b
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Mo 15.12.2008 | | Autor: | hase-hh |
Vielen Dank Marius,
starke Antwort!!
Allerdings...
> [mm]\gdw y=-\bruch{8}{15}x+2[/mm]
>
> Jetzt suchst du Geraden, die senkrecht zu g stehen, also
> weisst du, dass diese die Steigung [mm]m_{\perp}=\bruch{1}{8}[/mm]
> haben, denn [mm]m_{\perp}*m=-1[/mm]
müsste die Steigung der orthogonalen Geraden nicht [mm] m_2 [/mm] = [mm] \bruch{15}{8} [/mm] betragen?
Wolfgang
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Hallo hase-hh,
> Vielen Dank Marius,
>
> starke Antwort!!
>
> Allerdings...
>
>
> > [mm]\gdw y=-\bruch{8}{15}x+2[/mm]
> >
> > Jetzt suchst du Geraden, die senkrecht zu g stehen, also
> > weisst du, dass diese die Steigung [mm]m_{\perp}=\bruch{1}{8}[/mm]
> > haben, denn [mm]m_{\perp}*m=-1[/mm]
>
> müsste die Steigung der orthogonalen Geraden nicht [mm]m_2[/mm] =
> [mm]\bruch{15}{8}[/mm] betragen?
Da hast Du recht.
>
> Wolfgang
>
Gruß
MathePower
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> 1. Welche Gleichungen haben die Tangenten [mm]t_1[/mm] und [mm]t_2[/mm] an
> den Kreis k: [mm]\vec{x}^2[/mm] = 16, die orthogonal zur Geraden g:
> [mm]\vektor{ 8 \\ 15}*\vec{x}[/mm] = 30 sind?
>>
> 1. Der Richtungsvektor [mm]\vec{u}[/mm] der Tangenten, die ja
> orthogonal zu g sein sollen, müsste ja mit dem
> Richtungsvektor von g multipliziert null ergeben.
>
> => [mm]\vec{u}*\vektor{8 \\ 15}[/mm] = 0
>
> Also wäre z.b. [mm]\vec{u}[/mm] = [mm]\vektor{-15 \\ 8}[/mm] ein
> Richtungsvektor der Tangenten.
Richtig.
> Weiter.
>
> Eine Gerade [mm]t_3[/mm] durch (0/0) hätte die Form
>
> [mm]t_3: \vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] + [mm]\lambda*\vektor{-15 \\ 8}[/mm]
Auch richtig.
> Aber wie geht es jetzt weiter?
Du brauchst die Berührpunkte der beiden gesuchten Tangenten an den Kreis.
> Könnte man sagen, eine Parallele von g, die durch den
> Mittelpunkt des Kreises M(0/0) geht, führt zu den
> Berührpunkten, der orthogonalen Tangenten? Falls ja,
> warum?
So ist es. Begründung geometrisch, zeichne es mal auf. Du hast je zwei parallele Geraden, einmal die beiden Tangenten und dazu g und die Parallele zu g. Alle Winkel sind als rechte vorgegeben.
> 2. Nebenfrage: wie kann ich die Geradengleichung in eine
> Parametergleichung verwandeln?
Die Frage habe ich mal hier ans Ende gestellt.
[mm] \vektor{8\\15}*\vec{x}=30 [/mm] oder 8x+15y=30
Such Dir einen Punkt, der auf der Geraden liegt, z.B. [mm] \vektor{0\\2}
[/mm]
Jetzt brauchst Du noch einen Richtungsvektor, für den gilt
[mm] \vektor{8\\15}*\vec{x}=\red{0}
[/mm]
Den kannst Du ja beliebig oft addieren, ohne dass sich an der Erfüllung der Geradengleichung etwas ändert. So einen Vektor hast Du schon: [mm] \vektor{-15\\8}
[/mm]
Dann ist eine Parameterform der Geraden
g: [mm] \vektor{0\\2}+\mu\vektor{-15\\8}
[/mm]
> Danke & Gruß
>
LG,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Mo 15.12.2008 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
das hat mich jetzt gerade etwas verwirrt.
> > 2. Nebenfrage: wie kann ich die Geradengleichung in eine
> > Parametergleichung verwandeln?
> Die Frage habe ich mal hier ans Ende gestellt.
> [mm]\vektor{8\\15}*\vec{x}=30[/mm] oder 8x+15y=30
> Such Dir einen Punkt, der auf der Geraden liegt, z.B.
> [mm]\vektor{0\\2}[/mm]
Ist der Richtungsvektor der Geraden g nicht [mm] \vektor{8 \\ 15} [/mm] ?
> Jetzt brauchst Du noch einen Richtungsvektor, für den gilt
> [mm]\vektor{8\\15}*\vec{x}=\red{0}[/mm]
> Den kannst Du ja beliebig oft addieren, ohne dass sich an
> der Erfüllung der Geradengleichung etwas ändert. So einen
> Vektor hast Du schon: [mm]\vektor{-15\\8}[/mm]
>
> Dann ist eine Parameterform der Geraden
> g: [mm]\vektor{0\\2}+\mu\vektor{-15\\8}[/mm]
...würde auch dem Ansatz der Tangentengleichungen widersprechen, die ja den orthogonalen Richtungsvektor beinhalten.
Ok, könnte ja mir ja zwei Punkte suchen, die auf der Geraden liegen... und dann die Zwei-Punkte-Form aufstellen.
8x +15y = 30
P(0 / 2) Q(5 / [mm] -\bruch{2}{3}) [/mm]
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{ 0\\ 2} [/mm] + [mm] \lambda*(\vektor{ 5\\ -\bruch{2}{3}} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 2})
[/mm]
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{ 0\\ 2} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{ 5\\ -\bruch{8}{3}}
[/mm]
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{ 0\\ 2} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{ 15\\ -8}
[/mm]
Daraus muss ich den Schluss ziehen, dass der Richtungsvektor der Geraden
g: [mm] \vektor{8\\15}*\vec{x} [/mm] = 30
nicht [mm] \vektor{8 \\ 15} [/mm] ist !???
Da hab ich wohl was nicht verstanden.
Hmmm
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Hast Du schon Vektoralgebra im [mm] \IR^3 [/mm] gehabt?
Da ist die Normalenform der Ebene ja auch [mm] \vec{x}*\vec{n}=a
[/mm]
...und [mm] \vec{n} [/mm] ist kein Vektor in der Ebene, sondern steht senkrecht auf ihr.
Das ist im [mm] \IR^2 [/mm] nicht anders! Die Normalenform der Geraden verwendet einen Vektor, der senkrecht zur Richtung der Geraden steht, wie Du gerade selbst herausgefunden hast.
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