Tangenten/Normale an Schar < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:08 Mi 07.03.2007 | | Autor: | Cr4izy |
| Aufgabe | | An den Graphen der Funktionschar f(x)=(1/k)*x-x*ln(x) wird im Punkt (1|f(1)) eine Tangente und Normale gelegt. Geben Sie die Gleichung der Tangente und der Normale an. |
Ich habe Probleme die Gleichung der Normale zu bilden.
Zunächst habe ich den Punkt in Abhängigkeit von k bestimmt und erhielt P(1|1/k).
Die erste Ableitung lautet f'(x)=(1/k)-1-ln(x).
Damit ist die Steigung in P, ich nenne sie mal m1, m1=(1/k)-1.
Damit ergibt sich für die Tangetengleichung (P wurde in die Formel t(x)=m1*x+b eingesetzt und b bestimmt):
t(x)=((1/k)-1)*x+1
Nun weiß ich, dass die Normale senkrecht auf die Tangente steht, bzw. m1*m2=-1
Damit ergibt sich für m2=-1/((1/k)-1) bzw. m2=-((1/k)-1)^-1.
Wenn ich das dann in o(x)=m2*x+b und b berechne, dann erhalte ich die Gleichung:
o(x)=-((1/k)-1)^-1)*x+(1/k)+((1/k)-1)^-1
Aber irgendwie stimmt das nicht... Und ich weiß nicht, wo mein Fehler steckt... Ich habe das nämlich gezeichnet mit dem Programm TurboPlot, aber die Othogonale, die ich bestimmt habe, die schneidet die Tangente nicht im rechten Winkel... Was habe ich falsch gemacht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 Mi 07.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Cr4izy!
Ich kann jetzt irgendwie keinen konkretn Fehler erkennen. aber zur Vereinfachung solltest Du Dir die beiden Steigungen mal umformen:
[mm] $m_1 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{k}-1 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1-k}{k}$
[/mm]
[mm] $m_2 [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{m_1} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{\bruch{1-k}{k}} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{k}{1-k} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{k}{k-1}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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