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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:56 Fr 22.04.2005 | | Autor: | spooky |
Brauch mal wieder eure Hilfe!!! Ich habe zwei verschiedene Aufgaben zu einer Funktion:
[mm] f_{a}(x)= \bruch{ax³-8}{4x²} [/mm] (a>0)
Wählt man aus [mm] f_{a} [/mm] die Funktion [mm] f_{1} [/mm] aus, so hat diese Funktion einen beliebigen Punkt P(u; [mm] f_{1}(u)) [/mm] (u>1).
1. Für welchen Wert von u geht die Tangente in P durch den Koordinatenursprung???
Bei dieser Aufgabe komme ich für u=0. D.h., dass es für den Punkt P keine Tangente durch den Koordinatenursprung gibt. Stimmt die Feststellung so???
2. Berechne die Koordinaten des Punktes S, in dem die Tangente in P die Funktion [mm] f_{1} [/mm] nochmals schneidet.
Hier habe ich zuerst die Tangente berechnet
y=x(0,25+4 [mm] u^{-3})-6u^{-2}
[/mm]
Diese habe ich dann gleichgesetzt mit [mm] f_{1}:
[/mm]
[mm] 0,25x-2x^{-2}=x(0,25+4 u^{-3})-6u^{-2}
[/mm]
Kann diesen Term aber nicht nach x umformen!!!
Wenn ihr mir da mal wieder helfen könntet wäre ich echt froh!!!
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Hallo,
> [mm]f_{a}(x)= \bruch{ax³-8}{4x²}[/mm] (a>0)
ist die Funktion korrekt?
Da die Funktion durch den Nullpunkt gehen muß, muß gelten:
[mm]f_{a} (u)\; = \;f_{a}^{'} \left( u \right)\;u[/mm]
Aber da komme ich auf keine Lösung.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Fr 22.04.2005 | | Autor: | spooky |
Hallo!!!
$ [mm] f_{a}(x)= \bruch{ax³-8}{4x²} [/mm] $ (a>0)
Also die Funktion ist korrekt!!! Aber irgendwie komm ich jetzt mit deinem Schritt von $ [mm] f_{a} (u)\; [/mm] = [mm] \;f_{a}^{'} \left( u \right)\;u [/mm] $ nicht ganz mit!!!
Das habe ich ja auch schon raus, dass ich für die erste aufgabe auf keine Lösung komme!!! Da ja u=0 ist, aber für u ja eine einschränkung getroffen wurde von u>1.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Fr 22.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo spooky!
> Hallo!!!
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> [mm]f_{a}(x)= \bruch{ax³-8}{4x²}[/mm] (a>0)
>
> Also die Funktion ist korrekt!!! Aber irgendwie komm ich
> jetzt mit deinem Schritt von [mm]f_{a} (u)\; = \;f_{a}'(u)*u[/mm]
> nicht ganz mit!!!
Dieses erhält MathePower aus der Punkt-Steigungs-Form:
[mm] $m_t [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y-y_0}{x-x_0}$ $\gdw$ [/mm] $t(x) \ = \ [mm] m_t*(x-x_0) [/mm] + [mm] y_0 [/mm] \ = \ [mm] m_t*x [/mm] \ + \ [mm] \underbrace{y_0 - m_t*x_0}_{= \ y-Achsenabschnitt}$
[/mm]
Da die Gerade ja Tangente an die Funktion [mm] $f_a$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ u$ sein soll, gilt: [mm] $m_t [/mm] \ = \ [mm] f_a'(u)$
[/mm]
Außerdem soll die Gerade (= Tangente) eine Ursprungsgerade sein, aslo ist der y-Achsenabschnitt = 0 !!
Und an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ u$ haben Tangente und Funktion [mm] $f_a$ [/mm] auch denselben Funktionswert.
Damit verbleibt: [mm]t(u) \ = \ f_a (u) \ = f_a'(u)*u + 0 \ = \ f_a'(u) * u[/mm]
> Das habe ich ja auch schon raus, dass ich für die erste
> aufgabe auf keine Lösung komme!!! Da ja u=0 ist, aber für u
> ja eine einschränkung getroffen wurde von u>1.
Nun ja, aber $u \ = \ 0$ darfst Du ja auch gar nicht einsetzen, da Du dann durch Null teilen würdest (= mathematisches Schwerverbrechen!), weil $u$ auch im Nenner steht.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Fr 22.04.2005 | | Autor: | spooky |
Konnte das jetzt alles nachvollziehen!! und da nehme ich jetzt an, dass meine erste Aufgabe stimmt!?
Aber bei zweitens hab ich immernoch nichts raus!!! wäre also nett wenn du dir das vielleicht auch noch angucken könntest???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 Fr 22.04.2005 | | Autor: | Max |
> Konnte das jetzt alles nachvollziehen!! und da nehme ich
> jetzt an, dass meine erste Aufgabe stimmt!?
Also ich habe auch heraus, dass die Tangente nie durch den Ursprung verläuft. Wenn du dir den Graph ansiehst, erkennst du auch leicht, dass dies nur der Fall wäre für [mm] $u\to \infty$, [/mm] da $y=0$ waagerechte Asymptote ist, bzw. für $u [mm] \to [/mm] 0$, da $x=0$ senkrechte Asymptote ist.
> Aber bei zweitens hab ich immernoch nichts raus!!! wäre
> also nett wenn du dir das vielleicht auch noch angucken
> könntest???
Naja, du hast ja die Bedingung [mm] $f_1(x)=t(x)$. [/mm] Das führt zu einer Gleichung dritten Grades. Tatsächlich kennst du aber schon eine Nullstelle, nämlich $x=u$, da die Tangente ja im Punkt [mm] $P(u|f_1(u))$ [/mm] berührt.
Wenn du dann mit Polynomdivison und p/q-Formel arbeitest bekommst du alle weiteren Schnittstellen.
Gruß Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Sa 23.04.2005 | | Autor: | spooky |
Hallo
Ich hab es jetzt versucht mit Polynomdivision:
[mm] (2x^{-2}+4u^{-3}x-6u^{-2}): [/mm] (x-u)=2 [mm] x^{-3}
[/mm]
[mm] -(2x^{-2}-2ux^{-3})
[/mm]
Aber leider bekomm ich das jetzt nicht weiter hin!! Kannst du mir sagen ob der Ansatz wenigstens stimmt???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo spooky,
du kannst natürlich nur bei Polynomen die Polynomdivision anwenden, daher würde ich dir empfehlen erst die Gleichung entsprechend zu erweitern, zB mit [mm] $4u^3x^2$.
[/mm]
Du hast ja [mm] $f(x)=f_1(x)=\frac{x^3-8}{4x^2}$ [/mm] und [mm] $t_u(x)=-\frac{6}{u^2}+\frac{x}{4}+\frac{4x}{u^3}$.
[/mm]
Wegen $f(x)=t(x)$ folgt:
[mm] $\frac{x^3-8}{4x^2}=-\frac{6}{u^2}+\frac{x}{4}+\frac{4x}{u^3} [/mm] $
[mm] $\gdw u^3 (x^3-8)=-24ux^2+u^3 x^3+16x^3$
[/mm]
[mm] $\gdw \ldots$
[/mm]
[mm] $\gdw -16x^3 +24ux^2 -8u^3=0$
[/mm]
Diese Gleichung dritten Grades hat die Lösung $x=u$ und kann durch Polynomdivision vereinfacht werden.
Viel Erfolg.
Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Sa 23.04.2005 | | Autor: | spooky |
Ich habe wahrscheinlich irgendwo einen Fehler gemacht!!
Ich hab die Polynomdivision durchgeführt und komme auf die Gleichung:
16x²-8ux+8u²
Wenn ich das dann über die p-q-Formel berechne komme ich auf
[mm] x_{2/3}= \bruch{u}{4} \pm \wurzel{-\bruch{7}{16}u²}
[/mm]
Nur leider kann man ja keine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen!!! Kann das sein, dass ich bei der Polynomdivision ein Vorzeichen falsch habe???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:41 Sa 23.04.2005 | | Autor: | spooky |
Ich habs mittlerweile auch rausbekommen!! Ich hatte die Gleichung irgendwie anders umgestellt!!!
Vielen Dank nochmal an alle die mir geholfen haben!!!
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Ich erhalte aus der Polynomdivision:
p/q-Formel